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The following quantities appear in the problem:
The following formulas must be used to solve the exercise:
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Exercise:
Der Kreisprozess einer Carnot-Maschine besteht aus einer isothermen Expansion von V_p_ nach V_p_ einer adiabatischen Expansion von dort nach V_p_ einer isothermen Kompression nach V_p_ und einer adiabatischen Kompression zurück zum Ausgangszustand. Berechne formal den Wirkungsgrad einer Carnot-Maschine.

Solution:
Der Carnot-Kreisprozess besteht wie folg im p-V-Diagramm abgebildet aus vier Teilprozessen: center tikzpicturelatex axisaxis line stylegreen!!black thick every axis label/.app style green!!black every tick label/.app stylegreen!!black axis x linecenter axis y linecenter xtick ytick xlabelVsicubicmeter ylabelpsiPa xlabel stylebelow right ylabel styleabove left xmin-. xmax ymin-. ymax. addplot name pathAmarknonedomain.:. red thick /x; addplot name pathBmarknonedomain.:. blue ./x^.; addplot name pathCmarknonedomain.:. red /x; addplot name pathDmarknonedomain.:. blue ./x^.; addplot+ nodes near coordsonly marks po metaexplicit symbolic table metalabel x y label . . . . . . ; axis tikzpicture center Die Maschine arbeitet zwischen zwei Wärmereservoiren deren Temperaturen wir im Folgen mit T_a hohe Temperatur obere rote Isotherme und mit T_b tiefe Temperatur untere rote Isotherme bezeichnen. Die vier Teilprozesse werden nachsteh einzeln behandelt. Ausrufbox Die vom idealen Gas abgegebene Volumenarbeit entspricht anschaulich der vom entsprechen Kreisprozess im p-V-Diagramm eingeschlossenen Fläche. Ausrufbox itemize item bf . Teilprozess . Isotherme -- Bei einem isothermen Prozess bleibt die Temperatur konstant wie es der Name sagt. Für ein ideales Gas lässt sich somit der Gasdruck wegen dem universellen Gasgesetz schreiben als pVfracnRTV. Die Arbeit welche der Kolben durch Expansion das Gases von V_ zu V_ verrichtet beträgt: W_ _V_^V_ pVtextdV _V_^V_ fracnRT_aVtextdV nRT_a leftln Vright_V_^V_ nRT_a leftln V_ - ln V_right edboxW_ nRT_a ln leftfracV_V_right Das positve Vorzeichen der Arbeit besagt dass diese Arbeit vom Gas abgegeben bzw. verrichtet wird. Weil die innere Energie textdUnc_vtextdT bei einem isothermen Prozess textdT null ist folgt aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik textdUtextdQ+textdW: Q_ -W_ edboxQ_ -nRT_a ln leftfracV_V_right Das negative Vorzeichen besagt dass wir Energie in das Gas investieren müssen. Es handelt sich also um Wärme welche bei der Berechnung des Wirkungsgrades berücksichtig werden muss. item bf . Teilprozess . Adiabate -- Ein adiabatischer Prozess wird dadurch ausgezeichnet dass bei ihm vom Gas weder Wärme abgegeben noch aufgenommen wird also ddQ. edboxQ_ Somit ist die Änderung der inneren Energie des Gases einfach durch die verrichtete Arbeit gegeben textdU textdW woraus folge Beziehung folgt: textdU textdW nc_v textdT -fracnRTVtextdV fracc_vTtextdT -fracRVtextdV c_v ln T -R ln V + C ln T fracRc_v ln V^- +C ln T ln V^-fracRc_v + C ln T - ln V^-fracRc_v C ln TV^+fracRc_v C TV^fracRc_v texte^C textconst. Da wegen des idealen Gasgesetzes TfracpVnR ist gilt für einen adiabatischen Prozess ebenso bei fester Stoffmenge n: fracpVnR V^fracRc_v textconst. p V^fracRc_v+ textconst. Wenn man ausserdem verwet dass c_p c_v+R und kappafracc_pc_v Isotropenexponent bzw. Adiabatenkoeffizient woraus fracRc_v kappa- folgt erhält man: p V^kappa textconst. p V^kappa p_V_^kappa pV p_fracV_^kappaV^kappa Das ist nun sozusagen die Funktion pV für einen adiabatischen Prozess über welche zu egrieren ist wenn man die von einem Gas verrichtete Arbeit an beispielsweise einem Kolben erhalten möchte: W_ _V_^V_ pV textdV _V_^V_ p_ fracV_^kappaV^kappa textdV p_V_^kappa leftfrac-kappaV^-kapparight_V_^V_ p_V_^kappa frac-kappa left fracV_^kappa- - fracV_^kappa-right p_V_^kappa left-fracc_vRright left fracV_^kappa- - fracV_^kappa-right fracp_V_R c_v V_^kappa- left fracV_^kappa- - fracV_^kappa-right n c_v T_ left fracV_^kappa-V_^kappa- - fracV_^kappa-V_^kappa- right n c_v T_ left fracV_V_right^kappa- - n c_v T_ left fracV_V_right^kappa- Weiter oben haben wir gezeigt dass TV^fracRc_vTV^kappa-textconst. ist. Das bedeutet dass man T_iV_i^kappa- T_V_^kappa- schreiben kann womit sich die letzte Gleichung vereinfachen lässt T_aT_T_ T_bT_T_: W_ n c_v T_a - nc_v T_b nc_v T_a-T_b So viel Arbeit gibt die Carnot-Maschine im zweiten Teilprozess ab; Wärme wird dabei per Definition adiabatischer Prozess textdQ keine zugeführt. Die ganze obige Rechnung wird übrigens oft abgekürzt; da textdUnc_vtextdTtextdW gilt kann die Arbeit auch einfach so berechnet werden: W_ textdW _T_b^T_a nc_vtextdT edboxW_ nc_v T_a-T_b Das ist natürlich viel schneller -- aber eben nicht den Weg über die Integration von pV textdV gegangen welcher ja eigentlich physikalisch am einfachsten zu fassen ist... item bf . Teilprozess . Isotherme -- Die zweite Isotherme kann nach obigem sehr schnell abgehandelt werden: W_ _V_^V_ pVtextdV _V_^V_ fracnRT_bVtextdV nRT_b leftln Vright_V_^V_ nRT_b leftln V_ - ln V_right nRT_b ln leftfracV_V_right An der letzten Gleichung kann man ablesen dass W_ ist weil V_ V_ und damit auch ln leftfracV_V_right . Für spätere Zwecke ist es deshalb sinnvoll das Ganze so zu schreiben: edboxW_ -nRT_b ln leftfracV_V_right Man kann so direkt am Vorzeichen sehen dass W_ und damit dass beim dritten Teilprozess Arbeit investiert werden muss. Diese Arbeit kommt durch eine Wärmeabgabe des Gases zustande Argumentation gleich wie beim ersten isothermen Prozess: Q_ -W_ edboxQ_ +nRT_b ln leftfracV_V_right item bf . Teilprozess . Adiabate -- Der vierte Teilprozess kann nun nachdem man gesehen hat wie das mit der Adiabate funktioniert einfach aufgeführt werden: W_ textdW _T_a^T_b nc_vtextdT edboxW_ nc_v T_b-T_a Diese Arbeit wird investiert. Selbstverständlich gilt auch für diesen adiabatischen Prozess dass weder Wärme zu- noch abgeführt wird: edboxQ_ itemize bf Zusammenfassung der Ergebnisse -- Die Ergebnisse für die vier Teilprozesse sind der folgen Tabelle zusammengefasst: center tabularx.textwidth|c||X|X|hline i & cellcoloryellow!!whiteQ_i & cellcoloryellow!!whiteW_i hline hline & -nRT_a lnleftfracV_V_right & +nRT_a lnleftfracV_V_right hline & & nc_vT_a-T_b hline & cellcolorblack!!white +nRT_b lnleftfracV_V_right+nRT_b lnleftfracV_V_right & -nRT_b lnleftfracV_V_right hline & & nc_vT_b-T_a hline tabularx center Die vier Voluminas V_ V_ V_ und V_ sind nicht unabhängig voneinander; die vier Prozesse stellen gegenseitige Bedingungen: p_V_ p_V_ qquad p_V_^kappa p_V_^kappa p_V_ p_V_ qquad p_V_^kappa p_V_^kappa Mit der Gleichung oben links kann man in der Gleichung unten rechts p_p_fracV_V_ substituieren; in derselben Gleichung kann man p_p_fracV_V_ mit Hilfe der Gleichung unten links substituieren. Man erhält: p_V_V_^kappa- p_V_^kappa- Dividiert man diese Gleichung durch die Gleichung oben rechts so erhält man: fracV_V_^kappa-V_^kappa fracV_V_^kappa-V_^kappa fracV_^kappa-V_^kappa- fracV_^kappa-V_^kappa- fracV_V_ fracV_V_ Die letzte Gleichung wurde verwet um den Prozess Q_ anders zu schreiben in obiger Tabelle. Der Wirkungsgrad des Carnot-Kreisprozesses ist damit: eta frac W_i Q^nearrow frac+nRT_a lnleftfracV_V_right-nRT_b lnleftfracV_V_right+nc_vT_a-T_b+nc_vT_b-T_anRT_a lnleftfracV_V_right fracT_a-T_bT_a -fracT_bT_a
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Exercise:
Der Kreisprozess einer Carnot-Maschine besteht aus einer isothermen Expansion von V_p_ nach V_p_ einer adiabatischen Expansion von dort nach V_p_ einer isothermen Kompression nach V_p_ und einer adiabatischen Kompression zurück zum Ausgangszustand. Berechne formal den Wirkungsgrad einer Carnot-Maschine.

Solution:
Der Carnot-Kreisprozess besteht wie folg im p-V-Diagramm abgebildet aus vier Teilprozessen: center tikzpicturelatex axisaxis line stylegreen!!black thick every axis label/.app style green!!black every tick label/.app stylegreen!!black axis x linecenter axis y linecenter xtick ytick xlabelVsicubicmeter ylabelpsiPa xlabel stylebelow right ylabel styleabove left xmin-. xmax ymin-. ymax. addplot name pathAmarknonedomain.:. red thick /x; addplot name pathBmarknonedomain.:. blue ./x^.; addplot name pathCmarknonedomain.:. red /x; addplot name pathDmarknonedomain.:. blue ./x^.; addplot+ nodes near coordsonly marks po metaexplicit symbolic table metalabel x y label . . . . . . ; axis tikzpicture center Die Maschine arbeitet zwischen zwei Wärmereservoiren deren Temperaturen wir im Folgen mit T_a hohe Temperatur obere rote Isotherme und mit T_b tiefe Temperatur untere rote Isotherme bezeichnen. Die vier Teilprozesse werden nachsteh einzeln behandelt. Ausrufbox Die vom idealen Gas abgegebene Volumenarbeit entspricht anschaulich der vom entsprechen Kreisprozess im p-V-Diagramm eingeschlossenen Fläche. Ausrufbox itemize item bf . Teilprozess . Isotherme -- Bei einem isothermen Prozess bleibt die Temperatur konstant wie es der Name sagt. Für ein ideales Gas lässt sich somit der Gasdruck wegen dem universellen Gasgesetz schreiben als pVfracnRTV. Die Arbeit welche der Kolben durch Expansion das Gases von V_ zu V_ verrichtet beträgt: W_ _V_^V_ pVtextdV _V_^V_ fracnRT_aVtextdV nRT_a leftln Vright_V_^V_ nRT_a leftln V_ - ln V_right edboxW_ nRT_a ln leftfracV_V_right Das positve Vorzeichen der Arbeit besagt dass diese Arbeit vom Gas abgegeben bzw. verrichtet wird. Weil die innere Energie textdUnc_vtextdT bei einem isothermen Prozess textdT null ist folgt aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik textdUtextdQ+textdW: Q_ -W_ edboxQ_ -nRT_a ln leftfracV_V_right Das negative Vorzeichen besagt dass wir Energie in das Gas investieren müssen. Es handelt sich also um Wärme welche bei der Berechnung des Wirkungsgrades berücksichtig werden muss. item bf . Teilprozess . Adiabate -- Ein adiabatischer Prozess wird dadurch ausgezeichnet dass bei ihm vom Gas weder Wärme abgegeben noch aufgenommen wird also ddQ. edboxQ_ Somit ist die Änderung der inneren Energie des Gases einfach durch die verrichtete Arbeit gegeben textdU textdW woraus folge Beziehung folgt: textdU textdW nc_v textdT -fracnRTVtextdV fracc_vTtextdT -fracRVtextdV c_v ln T -R ln V + C ln T fracRc_v ln V^- +C ln T ln V^-fracRc_v + C ln T - ln V^-fracRc_v C ln TV^+fracRc_v C TV^fracRc_v texte^C textconst. Da wegen des idealen Gasgesetzes TfracpVnR ist gilt für einen adiabatischen Prozess ebenso bei fester Stoffmenge n: fracpVnR V^fracRc_v textconst. p V^fracRc_v+ textconst. Wenn man ausserdem verwet dass c_p c_v+R und kappafracc_pc_v Isotropenexponent bzw. Adiabatenkoeffizient woraus fracRc_v kappa- folgt erhält man: p V^kappa textconst. p V^kappa p_V_^kappa pV p_fracV_^kappaV^kappa Das ist nun sozusagen die Funktion pV für einen adiabatischen Prozess über welche zu egrieren ist wenn man die von einem Gas verrichtete Arbeit an beispielsweise einem Kolben erhalten möchte: W_ _V_^V_ pV textdV _V_^V_ p_ fracV_^kappaV^kappa textdV p_V_^kappa leftfrac-kappaV^-kapparight_V_^V_ p_V_^kappa frac-kappa left fracV_^kappa- - fracV_^kappa-right p_V_^kappa left-fracc_vRright left fracV_^kappa- - fracV_^kappa-right fracp_V_R c_v V_^kappa- left fracV_^kappa- - fracV_^kappa-right n c_v T_ left fracV_^kappa-V_^kappa- - fracV_^kappa-V_^kappa- right n c_v T_ left fracV_V_right^kappa- - n c_v T_ left fracV_V_right^kappa- Weiter oben haben wir gezeigt dass TV^fracRc_vTV^kappa-textconst. ist. Das bedeutet dass man T_iV_i^kappa- T_V_^kappa- schreiben kann womit sich die letzte Gleichung vereinfachen lässt T_aT_T_ T_bT_T_: W_ n c_v T_a - nc_v T_b nc_v T_a-T_b So viel Arbeit gibt die Carnot-Maschine im zweiten Teilprozess ab; Wärme wird dabei per Definition adiabatischer Prozess textdQ keine zugeführt. Die ganze obige Rechnung wird übrigens oft abgekürzt; da textdUnc_vtextdTtextdW gilt kann die Arbeit auch einfach so berechnet werden: W_ textdW _T_b^T_a nc_vtextdT edboxW_ nc_v T_a-T_b Das ist natürlich viel schneller -- aber eben nicht den Weg über die Integration von pV textdV gegangen welcher ja eigentlich physikalisch am einfachsten zu fassen ist... item bf . Teilprozess . Isotherme -- Die zweite Isotherme kann nach obigem sehr schnell abgehandelt werden: W_ _V_^V_ pVtextdV _V_^V_ fracnRT_bVtextdV nRT_b leftln Vright_V_^V_ nRT_b leftln V_ - ln V_right nRT_b ln leftfracV_V_right An der letzten Gleichung kann man ablesen dass W_ ist weil V_ V_ und damit auch ln leftfracV_V_right . Für spätere Zwecke ist es deshalb sinnvoll das Ganze so zu schreiben: edboxW_ -nRT_b ln leftfracV_V_right Man kann so direkt am Vorzeichen sehen dass W_ und damit dass beim dritten Teilprozess Arbeit investiert werden muss. Diese Arbeit kommt durch eine Wärmeabgabe des Gases zustande Argumentation gleich wie beim ersten isothermen Prozess: Q_ -W_ edboxQ_ +nRT_b ln leftfracV_V_right item bf . Teilprozess . Adiabate -- Der vierte Teilprozess kann nun nachdem man gesehen hat wie das mit der Adiabate funktioniert einfach aufgeführt werden: W_ textdW _T_a^T_b nc_vtextdT edboxW_ nc_v T_b-T_a Diese Arbeit wird investiert. Selbstverständlich gilt auch für diesen adiabatischen Prozess dass weder Wärme zu- noch abgeführt wird: edboxQ_ itemize bf Zusammenfassung der Ergebnisse -- Die Ergebnisse für die vier Teilprozesse sind der folgen Tabelle zusammengefasst: center tabularx.textwidth|c||X|X|hline i & cellcoloryellow!!whiteQ_i & cellcoloryellow!!whiteW_i hline hline & -nRT_a lnleftfracV_V_right & +nRT_a lnleftfracV_V_right hline & & nc_vT_a-T_b hline & cellcolorblack!!white +nRT_b lnleftfracV_V_right+nRT_b lnleftfracV_V_right & -nRT_b lnleftfracV_V_right hline & & nc_vT_b-T_a hline tabularx center Die vier Voluminas V_ V_ V_ und V_ sind nicht unabhängig voneinander; die vier Prozesse stellen gegenseitige Bedingungen: p_V_ p_V_ qquad p_V_^kappa p_V_^kappa p_V_ p_V_ qquad p_V_^kappa p_V_^kappa Mit der Gleichung oben links kann man in der Gleichung unten rechts p_p_fracV_V_ substituieren; in derselben Gleichung kann man p_p_fracV_V_ mit Hilfe der Gleichung unten links substituieren. Man erhält: p_V_V_^kappa- p_V_^kappa- Dividiert man diese Gleichung durch die Gleichung oben rechts so erhält man: fracV_V_^kappa-V_^kappa fracV_V_^kappa-V_^kappa fracV_^kappa-V_^kappa- fracV_^kappa-V_^kappa- fracV_V_ fracV_V_ Die letzte Gleichung wurde verwet um den Prozess Q_ anders zu schreiben in obiger Tabelle. Der Wirkungsgrad des Carnot-Kreisprozesses ist damit: eta frac W_i Q^nearrow frac+nRT_a lnleftfracV_V_right-nRT_b lnleftfracV_V_right+nc_vT_a-T_b+nc_vT_b-T_anRT_a lnleftfracV_V_right fracT_a-T_bT_a -fracT_bT_a
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  1. Carnot-Kreisprozess by TeXercises
    1 | 2

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Work, Energy, Power
Tags
arbeit, carnot, carnot-kreisprozess, carnot-maschine, diagramm, kreisprozess, p-v-diagramm, physik, pv, pv-diagramm, thermodynamik, wirkungsgrad, wärme, wärmearbeitsmaschine, wärmelehre, wärmemaschine
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GER (Deutsch)
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