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Tags 2dim, dichte, gleichung, gleichungssystem, kopfrechnen, krone, könig, mechanik, physik, unbekannte Difficulty Points 8 Language Type Quantity Last modified 8 months ago Initial Version by Patrik Weber (patrik)	Dichte II (patrik)	0

Exercise

Ein König lässt sich eine neue Krone herstellen. Aus Kostengründen verwendet der Goldschmied ein Gold-Silber-Gemisch und verarbeitet $\SI{150}{\milli\litre}$ Metall. Die fertige Krone lastet mit $\SI{2.50}{kg}$ auf dem Kopf des Königs. Wie viel Gramm Gold und Silber hat der Schmied verarbeitet?

Solution

\newqty{V}{1.50e-4}{\cubic\meter} \newqty{m}{2.50}{kg} \newqty{rG}{19.3e3}{\kgpcm} \newqty{rS}{10.5e3}{\kgpcm} % Wenn man Gold und Silber zusammen mischt, so addieren sich die Volumina und die Massen: \begin{align} m = \ssc{m}{Au} + \ssc{m}{Ag} \quad \text{sowie} \quad V= \ssc{V}{Au} + \ssc{V}{Ag} \end{align} Drückt man die Volumina durch die Dichte aus, so erhält man: \al{ m &= \ssc{m}{Au} + \ssc{m}{Ag} \\ V &=\frac{\ssc{m}{Au}}{\ssc{\rho}{Au}}+\frac{\ssc{m}{Ag}}{\ssc{\rho}{Ag}} } Dieses Gleichungssystem lässt sich mit der Substitutionsmethode lösen; im ersten Schritt löst man dafür \emph{die eine} Gleichung (egal welche, wir nehmen die Erste, weil sie einfacher aussieht) nach \emph{der einen} Unbekannten (egal welche) auf: \al{\ssc{m}{Ag} = m-\ssc{m}{Au}} Das was man bekommen hat, setzt man bei der anderen Gleichung ein: \al{V=\frac{\ssc{m}{Au}}{\ssc{\rho}{Au}}+\frac{m-\ssc{m}{Au}}{\ssc{\rho}{Ag}}} Diese Gleichung kann nun nach der Unbekannten $\ssc{m}{Au}$ aufgelöst werden; es müssen die Regeln der (linearen, eindimensionalen) Algebra angewandt werden: \solqty{mG}{\frac{\ssc{\rho}{Au}\ssc{\rho}{Ag} V-\ssc{\rho}{Au} m}{\ssc{\rho}{Ag}-\ssc{\rho}{Au}}}{(\rGn*\rSn*\Vn-\rGn*\mn)/(\rSn-\rGn)}{kg} \solqty{mS}{m-\ssc{m}{Au}}{(\mn-\mGn)*1000}{g} \begin{align} V &= \frac{\ssc{m}{Au}}{\ssc{\rho}{Au}}+\frac{m-\ssc{m}{Au}}{\ssc{\rho}{Ag}}\\ \ssc{\rho}{Au}\ssc{\rho}{Ag} V &= \ssc{m}{Au}\ssc{\rho}{Ag} + \ssc{\rho}{Au}(m-\ssc{m}{Au})\\ \ssc{\rho}{Au}\ssc{\rho}{Ag} V &= \ssc{m}{Au}\ssc{\rho}{Ag} + \ssc{\rho}{Au}m-\ssc{\rho}{Au}\ssc{m}{Au}\\ \ssc{\rho}{Au}\ssc{\rho}{Ag} V - \ssc{\rho}{Au}m &= \ssc{m}{Au}(\ssc{\rho}{Ag}-\ssc{\rho}{Au})\\ \ssc{m}{Au} &= \mGf \\ &= \frac{\rG \cdot \rS \cdot \V - \rG \cdot \m}{\rS - \rG} \\ &= \mGTTT \\ \ssc{m}{Ag} &= \mSf \\ &= \m - \mG \\ &= \mSTTT \end{align}

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