Exercise:
Nach momentaner Vorstellung entstand unser Mond vor gut . Milliarden Jahren durch eine Kollision eines grossen Asteroiden mit der Erde. Zur Entstehung des Mondes waren aber lange Zeit mehrere konkurriere Theorien im Umlauf. Eine dieser Theorien war die Theorie der Entstehung des Mondes durch glqq Fissiongrqq Abspaltung welche allerdings schnell verworfen wurde. In dieser Aufgabe wen wir uns beiden Theorien zu und werden einige Abschätzungen vornehmen d.h. wir sind im Wesentlichen an den Grössenordnungen der Ergebnisse eressiert. Mache also wenn möglich geeignete Approximationen. Nimm dabei an dass das System ErdMond isoliert sei und vernachlässige den Einfluss der Sonne. Der Mond hat ein Masse von M_rm M pq.ekg eine Distanz zur Erde von R_rm EM pq.ekm und eine heutige Umlaufzeit um die Erde von T_rm M pq.d. Für die Erde verwe man eine Masse von M_rm E pq.ekg einen Radius von R_rm E pqkm und eine heutige Rotationsdauer von T_rm E pqh. abcliste abc bf Entstehung des Mondes durch glqq Fissiongrqqnewline Nach diesem Szenario rotierte die Erde bei ihrer Entstehung viel schneller als heute. Dies führte zu der Idee der glqq Abspaltung des Mondesgrqq. Dabei wurde angenommen dass sich der Mond wegen der schnellen Rotation und der dadurch entstehen Fliehkraft von der Erde gelöst hat. Gehen Sie davon aus dass sich das Material vornehmlich vom Äquator gelöst hat und dass Abweichungen dazu vernachlässigbar sind. itemize itemi Mache eine Abschätzung für die maximale Tageslänge T_ welche die Erde gehabt haben muss damit sich ein Mond mit Masse M_rm M von deren Oberfläche lösen kann. Vernachlässige jegliche Interaktion ausser der Gravitation. itemii Vergleiche den gesamten Drehimpuls des Systems ErdMond vor der Abspaltung des Mondes L_; Erde und Mond zusammen und heute L_; Erde und Mond separiert durch die Distanz R_rm EM. Wir gross ist das Verhältnis L/L? Vernachlässige dabei die Rotation des Mondes sowie Gezeitenkräfte. Approximiere die Erde als Vollkugel mit zeitlich konstantem Radius R_rm E und den Mond als Punktmasse. itemiii Kommentiere das Resultat aus Aufgabe ii. Welche Konsequenzen hat es für die entspreche Theorie? itemize abc bf Entstehung des Mondes durch Kollision newline Nach diesem Szenario die momentan favorisierte Theorie ist der Mond durch eine Kollision eines Asteroiden mit der Erde entstanden. Berechne den Ablenkungswinkel vartheta der Erde von ihrer ursprünglichen Flugbahn im Ruhesystem der Sonne aufgrund der Kollision wobei du folge Annahmen triffst: Die Kollision zwischen der Erde und dem Asteroiden war vollständig inelastisch d.h. die Masse M_rm A des Asteroiden wurde effektiv von der Erde absorbiert so dass M_rm E tildeM_rm E + M_rm A mit tildeM_rm E der Masse der Erde vor der Kollision. Bei diesem Vorgang wurde Material ausgestossen das schliesslich zur Entstehung des Mondes geführt hatte. Dieser Masseverlust kann jedoch aufgrund der kleinen Masse des Mondes relativ zur Erde vernachlässigt werden. Der Aufschlagswinkel des Asteroiden betrug alpha ^circ. Zudem war unmittelbar vor der Kollision das Verhältnis der Geschwindigkeiten im Ruhesystem der Sonne v_rm A/v_rm E und das Verhältnis der Massen M_rm A/tildeM_rm E .. abcliste center includegraphicswidth.textwidth#image_path:mondkollision# center

Solution:
abcliste abc itemize itemi Zwischen Mond und Erde wirkt die Gravitationskraft. Da sonst laut Aufgabenstellung keine anderen Kräfte wirken muss diese Gravitationskraft gerade der Zentripetalkraft entsprechen da eine Bewegung auf einer Kreisbahn vorliegt. Es gilt somit FG &mustbe FZ M_rm M g M_rm M R_rm E omega^ Rightarrow omega sqrtfrac gR_rm E fracpiT_ Rightarrow T_ pi sqrtfracR_rm Eg pq.h itemii Für den Drehimpuls vor der Abspaltung gilt L_ I_rm EM omega frac M_rm E + M_rm M R_rm E^ fracpiT_ wobei hier das Trägheitsmoment für eine Kugel Ifrac mr^ verwet wurde. Für den Drehimpuls nach der Abspaltung erhält man L_ I_rm E omega_rm E + I_rm M omega_rm M frac M_rm ER_rm E^ fracpiT_rm E + M_rm MR_rm EM^ fracpiT_rm M Somit folgt für fracL_L_fracfrac M_rm ER_rm E^ fracpiT_rm E + M_rm MR_rm EM^ fracpiT_rm Mfrac M_rm E + M_rm M R_rm E^ fracpiT_ fracM_rm EM_rm E + M_rm MfracT_T_rm E+frac fracM_rm MM_rm M + M_rm EfracR_rm EM^R_rm E^fracT_T_rm M . itemiii In diesem System müsste Drehimpulserhaltung gelten also L_ L_ oder L_/L_ . Dies ist aber nicht der Fall womit die Theorie einem physikalischen Gesetz widerspricht und somit verworfen werden kann. itemize abc Es gilt Impulserhaltung sowohl in x- als auch in y-Richtung also p^_x mustbe p^_x und p^_y mustbe p^_y Für die Impulse errechnet man unter Berücksichtigung dass in dieser Aufgabe sinalpha cosalpha ist p^_x M_rm Av_rm Asinalpha p^_x M_rm Evsinvartheta p^_y M_rm Av_rm Asinalpha + tildeM_rm Ev_rm E p^_y M_rm Evcosvartheta Somit erhält man das Gleichungssystem M_rm Av_rm Asinalpha M_rm Evsinvartheta label M_rm Av_rm Asinalpha + tildeM_rm Ev_rm E M_rm Evcosvartheta label Gleichung ref dividiert durch Gleichung ref ergibt tanvartheta frac +fracsinalpha Rightarrow vartheta arctanfrac +fracsinalpha ^circ abcliste