Exercise
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Exercise:
newcommandvcboldsymbol# Gegeben sei ein unlich langer metallischer Hohlzylinder mit Innenradius R_ und Aussenradius R_ durch den homogen verteilt der Strom I fliesst. Berechne die magnetische Induktion vcB im ganzen Raum. Hinweis: Bestimme zuerst aus Symmetrieüberlegungen einen Ansatz für die Magnetische Induktion. Benutze dann die vierte Maxwell-Gleichung in Integralform.

Solution:
newcommandvcboldsymbol# newcommandaw* # * renewcommanddrm d newcommandpafracpartial #partial # Für das Problem bieten sich Zylinderkoordinaten an. Dabei sei die z-Achse die Achse des Hohlzylinders. Der Strom fliesst offenbar in z-Richtung deswegen gilt für die Stromdichte vcj j vce_z. Das Vektorpotential vc A muss deshalb auch in z-Richtung zeigen denn es gilt vc Avc r fracmu_pi d^r^prime fracvc jvc r^prime|vc r - vc r^prime| Avarrho varphi z vc e_z. Aus Symmetriegründen ist vc A zudem unabhängig von z und varphi. Es ist deshalb vc Avc r Avarrhovc e_z . Für das Magnetfeld gilt dann vc B rot vc A. Der Nabla-Operator in Kugelkoordinaten ist nabla vc e_varrho pavarrho + vc e_varphi varrho pavarphi + vc e_z paz. Somit gilt für das Magnetfeld: vc B nabla times vc A sim vc e_varrho times vc e_z sim vc e_varphi. qquad Rightarrow vc B Bvarrhovc e_varphi Mit der vierten Maxwell-Gleichung in Integralform erhält man: aw_partial F d vc r vc B mu_ _F d vc f vc j pi varrho B fracpi mu_ IpiR_^-R_^ cases & varrho R_ _R_^varrho varrho^prime dvarrho^prime & R_ le varrho le R_ _R_^R_ varrho^prime dvarrho^prime & R_ varrhocases Daraus folgt für das Magnetfeld: Bvarrho fracmu_ I pi cases & varrho R_ fracvarrho-fracR_^varrhoR_^-R_^ & R_ varrho R_ fracvarrho & R_ varrho cases
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\(\LaTeX\)-Code
Exercise:
newcommandvcboldsymbol# Gegeben sei ein unlich langer metallischer Hohlzylinder mit Innenradius R_ und Aussenradius R_ durch den homogen verteilt der Strom I fliesst. Berechne die magnetische Induktion vcB im ganzen Raum. Hinweis: Bestimme zuerst aus Symmetrieüberlegungen einen Ansatz für die Magnetische Induktion. Benutze dann die vierte Maxwell-Gleichung in Integralform.

Solution:
newcommandvcboldsymbol# newcommandaw* # * renewcommanddrm d newcommandpafracpartial #partial # Für das Problem bieten sich Zylinderkoordinaten an. Dabei sei die z-Achse die Achse des Hohlzylinders. Der Strom fliesst offenbar in z-Richtung deswegen gilt für die Stromdichte vcj j vce_z. Das Vektorpotential vc A muss deshalb auch in z-Richtung zeigen denn es gilt vc Avc r fracmu_pi d^r^prime fracvc jvc r^prime|vc r - vc r^prime| Avarrho varphi z vc e_z. Aus Symmetriegründen ist vc A zudem unabhängig von z und varphi. Es ist deshalb vc Avc r Avarrhovc e_z . Für das Magnetfeld gilt dann vc B rot vc A. Der Nabla-Operator in Kugelkoordinaten ist nabla vc e_varrho pavarrho + vc e_varphi varrho pavarphi + vc e_z paz. Somit gilt für das Magnetfeld: vc B nabla times vc A sim vc e_varrho times vc e_z sim vc e_varphi. qquad Rightarrow vc B Bvarrhovc e_varphi Mit der vierten Maxwell-Gleichung in Integralform erhält man: aw_partial F d vc r vc B mu_ _F d vc f vc j pi varrho B fracpi mu_ IpiR_^-R_^ cases & varrho R_ _R_^varrho varrho^prime dvarrho^prime & R_ le varrho le R_ _R_^R_ varrho^prime dvarrho^prime & R_ varrhocases Daraus folgt für das Magnetfeld: Bvarrho fracmu_ I pi cases & varrho R_ fracvarrho-fracR_^varrhoR_^-R_^ & R_ varrho R_ fracvarrho & R_ varrho cases
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Attributes & Decorations
Tags
hohlzylinder, induktion, magnetische, magnetostatik, maxwellgleichungen, strom
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Difficulty
(5, default)
Points
5 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Calculative / Quantity
Creator pw
Decoration
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