Matrixexponential

Exercise
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Exercise:
newcommandKmathbbK newcommandemathrm e Seien A B in rm Mat_nK und tin K. Zeige dass für tto folge Identität gilt: e^tAe^tB e^tA + tB +frac t^AB+mathcalOt^ Dabei ist AB AB - BA. Hinweis: Für kleine Matrizen X in rm Mat_nmathbbR gilt log_n + X -limits_l^infty frac-^ll X^l

Solution:
newcommandemathrm e Wir starten mit der Definition des Matrixexponentials: e^tA e^tB leftlimits_n^infty fractA^nn! right leftlimits_n^infty fractB^nn! right left _n + tA + frac t^A^ + mathcalOt^ right left _n + tB + frac t^B^ + mathcalOt^ right _n + underbracetB + frac t^B^ + tA + t^AB + frac t^A^ + mathcalOt^_:X Da die Identität nur für tto gelten muss können wir annehmen dass X klein ist und somit den Hinweis benutzen der uns zum gewünschten Resultat führt: loge^tA e^tB log_n + X -limits_l^infty frac-^ll X^l X - frac X^ + mathcalO tB + frac t^B^ + tA + t^AB + frac t^A^ -frac lefttB + frac t^B^ + tA + t^AB + frac t^A^ right^ + mathcalOt^ tB + frac t^B^ + tA + t^AB + frac t^A^ - frac t^B^ - fract^A^ - frac t^AB - fract^BA + mathcalO tA + tB + frac t^ AB - BA + mathcalOt^ tA + tB + frac t^AB + mathcalOt^ e^tAe^tB e^tA + tB + frac t^AB + mathcalOt^
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\(\LaTeX\)-Code
Exercise:
newcommandKmathbbK newcommandemathrm e Seien A B in rm Mat_nK und tin K. Zeige dass für tto folge Identität gilt: e^tAe^tB e^tA + tB +frac t^AB+mathcalOt^ Dabei ist AB AB - BA. Hinweis: Für kleine Matrizen X in rm Mat_nmathbbR gilt log_n + X -limits_l^infty frac-^ll X^l

Solution:
newcommandemathrm e Wir starten mit der Definition des Matrixexponentials: e^tA e^tB leftlimits_n^infty fractA^nn! right leftlimits_n^infty fractB^nn! right left _n + tA + frac t^A^ + mathcalOt^ right left _n + tB + frac t^B^ + mathcalOt^ right _n + underbracetB + frac t^B^ + tA + t^AB + frac t^A^ + mathcalOt^_:X Da die Identität nur für tto gelten muss können wir annehmen dass X klein ist und somit den Hinweis benutzen der uns zum gewünschten Resultat führt: loge^tA e^tB log_n + X -limits_l^infty frac-^ll X^l X - frac X^ + mathcalO tB + frac t^B^ + tA + t^AB + frac t^A^ -frac lefttB + frac t^B^ + tA + t^AB + frac t^A^ right^ + mathcalOt^ tB + frac t^B^ + tA + t^AB + frac t^A^ - frac t^B^ - fract^A^ - frac t^AB - fract^BA + mathcalO tA + tB + frac t^ AB - BA + mathcalOt^ tA + tB + frac t^AB + mathcalOt^ e^tAe^tB e^tA + tB + frac t^AB + mathcalOt^
Contained in these collections:
Attributes & Decorations
Tags
algebra, approximation, kommutator, matrixexponential, reihenentwicklung
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Difficulty
(4, default)
Points
4 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Calculative / Quantity
Creator pw
Decoration
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