Minimum mit quadratischer Ergänzung
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
Video
\(\LaTeX\)
No explanation / solution video to this exercise has yet been created.
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Exercise:
Sei a. Die quadratische Ergänzung ax^ + bx + c a left x + fracbaright^ + c - fracb^a führt auf die Lösung der quadratischen Gleichung dient aber auch der Bestimmung des Minimums der Funktion fx ax^ + bx + c auf mathbbR. abcliste abc Zeigen Sie: f nimmt ihr Minimum m c - fracb^a für x frac-ba an. Also dass fx geq fleftfrac-baright m für alle x in mathbbR Ableiten nicht erwünscht. abc Finden Sie das Minimum der Funktion von zwei Variablen fx y x^ - xy + y^ + x + y Hinweis: Quadratische Ergänzung bezüglich x dann bezüglich y. abcliste
Solution:
abcliste abc Weil a ist und weil das Quadrat einer reellen Zahl grösser oder gleich ist folgern wir dass auch ihr textcolorredProdukt grösser oder gleich ist. Wir haben also fxax^+bx+c textcolorredaleftx+fracbaright^+c-fracb^ageq c- a m fleftfrac−baright abc Dem Hinweis folg suchen wir die quadratische Ergänzung nach x: fxyx+-y+x+y+y left x+ frac-yright^ +y^+y-frac-y^ Nach Teilaufgabe a hat f ein Minimum bei x fracy- Wir haben das x in Abhängigkeit von y gefunden welches fxy minimiert. Die quadratische Ergänzung nach y: fxy y^ +−x+y+x^ +x left y+ frac-xright^ +x^+x-frac-x^^ führt uns nach Teilaufgabe a zur Bedingung y fracx- Setzen wir die erste Bedingung in die zweite ein erhalten wir y fracy- Nach y aufgelöst finden wir y-frac und darum x-frac. Das globale Minimum wird bei xy -frac/-frac angenommen und ist fxy -frac. abcliste
Sei a. Die quadratische Ergänzung ax^ + bx + c a left x + fracbaright^ + c - fracb^a führt auf die Lösung der quadratischen Gleichung dient aber auch der Bestimmung des Minimums der Funktion fx ax^ + bx + c auf mathbbR. abcliste abc Zeigen Sie: f nimmt ihr Minimum m c - fracb^a für x frac-ba an. Also dass fx geq fleftfrac-baright m für alle x in mathbbR Ableiten nicht erwünscht. abc Finden Sie das Minimum der Funktion von zwei Variablen fx y x^ - xy + y^ + x + y Hinweis: Quadratische Ergänzung bezüglich x dann bezüglich y. abcliste
Solution:
abcliste abc Weil a ist und weil das Quadrat einer reellen Zahl grösser oder gleich ist folgern wir dass auch ihr textcolorredProdukt grösser oder gleich ist. Wir haben also fxax^+bx+c textcolorredaleftx+fracbaright^+c-fracb^ageq c- a m fleftfrac−baright abc Dem Hinweis folg suchen wir die quadratische Ergänzung nach x: fxyx+-y+x+y+y left x+ frac-yright^ +y^+y-frac-y^ Nach Teilaufgabe a hat f ein Minimum bei x fracy- Wir haben das x in Abhängigkeit von y gefunden welches fxy minimiert. Die quadratische Ergänzung nach y: fxy y^ +−x+y+x^ +x left y+ frac-xright^ +x^+x-frac-x^^ führt uns nach Teilaufgabe a zur Bedingung y fracx- Setzen wir die erste Bedingung in die zweite ein erhalten wir y fracy- Nach y aufgelöst finden wir y-frac und darum x-frac. Das globale Minimum wird bei xy -frac/-frac angenommen und ist fxy -frac. abcliste
Meta Information
Exercise:
Sei a. Die quadratische Ergänzung ax^ + bx + c a left x + fracbaright^ + c - fracb^a führt auf die Lösung der quadratischen Gleichung dient aber auch der Bestimmung des Minimums der Funktion fx ax^ + bx + c auf mathbbR. abcliste abc Zeigen Sie: f nimmt ihr Minimum m c - fracb^a für x frac-ba an. Also dass fx geq fleftfrac-baright m für alle x in mathbbR Ableiten nicht erwünscht. abc Finden Sie das Minimum der Funktion von zwei Variablen fx y x^ - xy + y^ + x + y Hinweis: Quadratische Ergänzung bezüglich x dann bezüglich y. abcliste
Solution:
abcliste abc Weil a ist und weil das Quadrat einer reellen Zahl grösser oder gleich ist folgern wir dass auch ihr textcolorredProdukt grösser oder gleich ist. Wir haben also fxax^+bx+c textcolorredaleftx+fracbaright^+c-fracb^ageq c- a m fleftfrac−baright abc Dem Hinweis folg suchen wir die quadratische Ergänzung nach x: fxyx+-y+x+y+y left x+ frac-yright^ +y^+y-frac-y^ Nach Teilaufgabe a hat f ein Minimum bei x fracy- Wir haben das x in Abhängigkeit von y gefunden welches fxy minimiert. Die quadratische Ergänzung nach y: fxy y^ +−x+y+x^ +x left y+ frac-xright^ +x^+x-frac-x^^ führt uns nach Teilaufgabe a zur Bedingung y fracx- Setzen wir die erste Bedingung in die zweite ein erhalten wir y fracy- Nach y aufgelöst finden wir y-frac und darum x-frac. Das globale Minimum wird bei xy -frac/-frac angenommen und ist fxy -frac. abcliste
Sei a. Die quadratische Ergänzung ax^ + bx + c a left x + fracbaright^ + c - fracb^a führt auf die Lösung der quadratischen Gleichung dient aber auch der Bestimmung des Minimums der Funktion fx ax^ + bx + c auf mathbbR. abcliste abc Zeigen Sie: f nimmt ihr Minimum m c - fracb^a für x frac-ba an. Also dass fx geq fleftfrac-baright m für alle x in mathbbR Ableiten nicht erwünscht. abc Finden Sie das Minimum der Funktion von zwei Variablen fx y x^ - xy + y^ + x + y Hinweis: Quadratische Ergänzung bezüglich x dann bezüglich y. abcliste
Solution:
abcliste abc Weil a ist und weil das Quadrat einer reellen Zahl grösser oder gleich ist folgern wir dass auch ihr textcolorredProdukt grösser oder gleich ist. Wir haben also fxax^+bx+c textcolorredaleftx+fracbaright^+c-fracb^ageq c- a m fleftfrac−baright abc Dem Hinweis folg suchen wir die quadratische Ergänzung nach x: fxyx+-y+x+y+y left x+ frac-yright^ +y^+y-frac-y^ Nach Teilaufgabe a hat f ein Minimum bei x fracy- Wir haben das x in Abhängigkeit von y gefunden welches fxy minimiert. Die quadratische Ergänzung nach y: fxy y^ +−x+y+x^ +x left y+ frac-xright^ +x^+x-frac-x^^ führt uns nach Teilaufgabe a zur Bedingung y fracx- Setzen wir die erste Bedingung in die zweite ein erhalten wir y fracy- Nach y aufgelöst finden wir y-frac und darum x-frac. Das globale Minimum wird bei xy -frac/-frac angenommen und ist fxy -frac. abcliste
Contained in these collections: