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https://texercises.com/exercise/reelles-integral-mit-residuensatz/
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Exercise:
Seien mn inN mit le m n. Zeige dass _^infty fract^m+t^n rm dt fracpinsinleftfracm+pinright.

Solution:
usetikzlibrarydecorations.markings newcommandResrm Resleft # right renewcommandemathrme renewcommandimathrmi renewcommanddmathrmd newcommandftdfract^m+t^n newcommandfzdfracz^m+z^n newcommandzke^ipileftfrack+nright newcommandzme^ipileftfracm+nright newcommandnzme^-ipileftfracm+nright newcommandzmie^ipileftfracm+nright tikzset--/.styledecoration markings markat position . with arrowpostactiondecorate Der Integrand ist gerade deswegen lässt sich schreiben: _^infty fract^m+t^n d t frac _-infty^infty fract^m+t^n d t : frac I. Betrachte den Integrationsweg über den Rand der oberen Halbkreisscheibe mit Radius R. center tikzpicturelatex draw- -. -- . noderightrm Rez; draw- -. -- . nodeaboverm Imz; drawthin --. nodebelowfootnotesize -R -- - .; drawthin -. nodebelowfootnotesize R -- .; draw--stealthredthick - -- ; draw--stealthredthick nodeyshiftcmGamma_R arc ::cm; tikzpicture center Dann lässt sich das Integral über den Halbkreisbogen wie folgt abschätzen: lim_Rtoinfty left|_Gamma_Rfz d zright| le lim_Rtoinfty pi R fracR^m+R^n . Die Singularitäten von fz erfüllen die Gleichung +z^n quad Leftrightarrow quad z^n - e^ipi. Die Lösungen sind nach der Formel von De Moivre z_k e^ileftfracpin + fracpi knright zk qquad kdotsn-. Diejenigen die in der oberen Halbebene liegen müssen ein Argument pi haben also folges erfüllen: frack+n quad Leftrightarrow quad k n -frac quad Leftrightarrow quad k n. Nach dem Residuensatz gilt deshalb I piilimits_k^n- Resfz zk. Da z^m analytisch ist und +z^n gerade einfache Nullstellen in den Singularitäten hat gilt: * Resfz zk leftfracz^mn z^n-right_zzk frac n leftzkright^m-n+ -frac n leftzkright^m+ -frac n zm leftzmiright^k. * Aufmieren unter Verwung der Partialme einer geometrischen Reihe s_n limits_k^n- q^k frac-q^n-q führt schlusslich zu * I -piifrac n zmlimits_k^n- leftzmiright^k -fracpiin zm frac-e^ipim+-zmi fracpiinfraczm-nzm fracpiinfracisinleftfracm+pinright fracpinsinleftfracm+pinright * und damit ist unser Integral _^infty ft d t frac I fracpinsinleftfracm+pinright.
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\(\LaTeX\)-Code
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Seien mn inN mit le m n. Zeige dass _^infty fract^m+t^n rm dt fracpinsinleftfracm+pinright.

Solution:
usetikzlibrarydecorations.markings newcommandResrm Resleft # right renewcommandemathrme renewcommandimathrmi renewcommanddmathrmd newcommandftdfract^m+t^n newcommandfzdfracz^m+z^n newcommandzke^ipileftfrack+nright newcommandzme^ipileftfracm+nright newcommandnzme^-ipileftfracm+nright newcommandzmie^ipileftfracm+nright tikzset--/.styledecoration markings markat position . with arrowpostactiondecorate Der Integrand ist gerade deswegen lässt sich schreiben: _^infty fract^m+t^n d t frac _-infty^infty fract^m+t^n d t : frac I. Betrachte den Integrationsweg über den Rand der oberen Halbkreisscheibe mit Radius R. center tikzpicturelatex draw- -. -- . noderightrm Rez; draw- -. -- . nodeaboverm Imz; drawthin --. nodebelowfootnotesize -R -- - .; drawthin -. nodebelowfootnotesize R -- .; draw--stealthredthick - -- ; draw--stealthredthick nodeyshiftcmGamma_R arc ::cm; tikzpicture center Dann lässt sich das Integral über den Halbkreisbogen wie folgt abschätzen: lim_Rtoinfty left|_Gamma_Rfz d zright| le lim_Rtoinfty pi R fracR^m+R^n . Die Singularitäten von fz erfüllen die Gleichung +z^n quad Leftrightarrow quad z^n - e^ipi. Die Lösungen sind nach der Formel von De Moivre z_k e^ileftfracpin + fracpi knright zk qquad kdotsn-. Diejenigen die in der oberen Halbebene liegen müssen ein Argument pi haben also folges erfüllen: frack+n quad Leftrightarrow quad k n -frac quad Leftrightarrow quad k n. Nach dem Residuensatz gilt deshalb I piilimits_k^n- Resfz zk. Da z^m analytisch ist und +z^n gerade einfache Nullstellen in den Singularitäten hat gilt: * Resfz zk leftfracz^mn z^n-right_zzk frac n leftzkright^m-n+ -frac n leftzkright^m+ -frac n zm leftzmiright^k. * Aufmieren unter Verwung der Partialme einer geometrischen Reihe s_n limits_k^n- q^k frac-q^n-q führt schlusslich zu * I -piifrac n zmlimits_k^n- leftzmiright^k -fracpiin zm frac-e^ipim+-zmi fracpiinfraczm-nzm fracpiinfracisinleftfracm+pinright fracpinsinleftfracm+pinright * und damit ist unser Integral _^infty ft d t frac I fracpinsinleftfracm+pinright.
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Attributes & Decorations
Tags
funktionentheorie, geometrische, partialsumme, polstelle, reihe, residuensatz, residuum, singularität
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Difficulty
(5, default)
Points
10 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Calculative / Quantity
Creator pw
Decoration
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