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Tags dreieck, komponente, kraft, mathematik, physik, trigonometrie, vektor, zerlegung Difficulty Points 4 Language Type Quantity Last modified 11 months, 2 weeks ago Initial Version by Urs Zellweger (urs)	Kraft als Vektor II (patrik) Kraft als Vektor 2 (urs)	0

Exercise

Am Tragseil eines Sessellifts hängt eine Last von $\SI{1.6}{kN}$ zwischen zwei Stützen. Der untere Teil des Seiles bildet mit der Horizontalen den Winkel $\ang{30}$, der obere Teil den Winkel $\ang{45}$. Wie gross sind die Zugkräfte im oberen bzw. unteren Abschnitt des Seiles? \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=1.0] \filldraw[fill=blue!80!white] (0,0)--(.5,0) arc(0:45:.5)--cycle; \filldraw[fill=blue!80!white] (0,0)--(-.5,0) arc(180:210:.5)--cycle; \node at (.9,.25) {$\ang{45}$}; \node at (-.9,-.15) {$\ang{30}$}; \draw[thick] (0,0)--(1.5,1.5); \draw[thick] (0,0)--(-2,-1); \draw (0,0)--(0,-.1)--(.2,-.3)--(.2,-.6)--(-.1,-.6); \draw[color=black!50!white] (1.5,1.5)--(1.2,0); \draw[color=black!50!white] (1.5,1.5)--(1.8,0); \end{tikzpicture} \end{center}

Short Solution

$\SI{4371}{N}$ bzw. $\SI{5353}{N}$

Solution

\newcommand{\Fre}{F_{\rightarrow}} \newcommand{\Fli}{F_{\leftarrow}} \newcommand{\Fob}{F_{\uparrow}} \newcommand{\Fun}{F_{\downarrow}} \newcommand{\FZli}{F_{\swarrow}} \newcommand{\FZre}{F_{\nearrow}} \newcommand{\FZlili}{F_{\swarrow,\leftarrow}} \newcommand{\FZliun}{F_{\swarrow,\downarrow}} \newcommand{\FZrere}{F_{\nearrow,\rightarrow}} \newcommand{\FZreob}{F_{\nearrow,\uparrow}} Es muss sowohl in horizontale als in vertikale Richtung Kräftegleichgewicht herrschen: \begin{center} \begin{multicols}{2} $\begin{aligned}[t] \Fli &\mustbe \Fre \\ \FZlili &= \FZrere\\ \FZli\cos\alpha &= \FZre\cos\beta \end{aligned}$\\ $\begin{aligned}[t] \Fob &\mustbe \Fun \\ \FZreob &= \FG + \FZliun \\ \FZre \sin\beta &= \FG + \FZli\sin\alpha \end{aligned}$ \end{multicols} \end{center} Die untersten beiden Gleichungen bilden ein Gleichungssystem mit den Unbekannten $\FZli$ und $\FZre$: \al{ \FZli\cos\alpha &= \FZre\cos\beta\\ \FZre \sin\beta &= \FG + \FZli\sin\alpha. } Wir lösen die eine Gleichung (egal welche -- wir wählen die erste, weil sie einfacher aussieht) nach der einen Unbekannten (egal welche -- wir wählen $\FZli$) auf: \al{ \FZli\cos\alpha &= \FZre\cos\beta \uf{:\cos\alpha} \\ \FZli &= \frac{\FZre\cos\beta}{\cos\alpha}. } Diesen Ausdruck setzen wir in die andere Gleichung ein und lösen nach der anderen Unbekannten $\FZre$ auf: \al{ \FZre \sin\beta &= \FG + \FZli\sin\alpha \es \\ \FZre \sin\beta &= \FG + \frac{\FZre\cos\beta}{\cos\alpha} \sin\alpha \tu \\ \FZre \sin\beta &= \FG + \FZre\cos\beta \tan\alpha \uf{-\FZre\cos\beta\tan\alpha} \\ \FZre(\sin\beta - \cos\beta\tan\alpha) &= \FG \uf{:(\sin\beta - \cos\beta\tan\alpha)}\\ \FZre &= \frac{\FG}{\sin\beta - \cos\beta\tan\alpha} \\ &= \frac{\SI{1.6e3}{N}}{\sin(\SI{30}{\degree}) - \cos(\SI{45}{\degree})} \\ &= \SI{4.4}{kN} } Wir setzen das Ergebnis in die nach der anderen Unbekannten $\FZli$ aufgelösten Gleichung ein: \al{ \FZli &= \frac{\FZre\cos\beta}{\cos\alpha} \\ &= \frac{\SI{4.4e3}{N} \cdot \cos(\SI{45}{\degree})}{\cos(\SI{30}{\degree})} \\ &= \SI{5.4}{kN}. }

Revision Table

15:14, 26. Dec. 2018	formal/sig	Patrik Weber (patrik)	Current Version
20:59, 17. May 2017	lsg vereinfacht	Urs Zellweger (urs)	Compare with Current
20:58, 17. May 2017	si	Urs Zellweger (urs)	Compare with Current