Exercise:
Für die Formel von Taylor gibt es eine differenzielle Form des Restglieds: fx fa + f'ax-a + dfracf''a!x-a^ + dots + dfracf^nan!x-a^n + R_n+x mit R_n+x dfracf^n+xin+!x-a^n+ wobei xi eine geeignete Stelle zwischen x und a ist. Die Funktion wird in eine Potenzreihe mit Entwicklungsstelle a entwickelt. Wie gross kann der Fehler an der Stelle x. maximal werden wenn die Reihe nach multicols enumerate itema Gliedern itemb Gliedern itemc Gliedern enumerate multicols abgebrochen wird? Verwe zur Abschätzung des Fehlers das oben angegebene Restglied.

Solution:
textbfAchtung: In den Theorieunterlagen wurde das Restglied mit R_n+ bezeichnet. In der Formelsammlung wird es mit R_n bezeichnet. Es hat dort also die gleiche Nummer wie die Ordnung der zuletzt berechneten Ableitung. In der Lösung wird die Schreibweise aus der Formelsammlung verwet. enumerate itema Glieder: d.h.~bis zur .~Ableitung displaystyle R_. dfracf^xi! .-^ dfracmathrme^xi frac dfrac mathrme^xi mit xi in . Für welches xi in . wird oben stehe Term maximal? medskip xi . quad Rightarrow quad dfrac mathrme^. . medskip Zum Vergleich: medskip displaystyle left|mathrme^. - _k^ dfrac.^kk! right| |. - .| . itemb displaystyle R_. dfracf^xi! .-^ dfracmathrme^xi frac dfrac mathrme^xi mit xi in . medskip xi . quad Rightarrow quad dfrac mathrme^. . itemc displaystyle R_. dfracf^xi! .-^ dfracmathrme^xi frac dfrac mathrme^xi mit xi in . medskip xi . quad Rightarrow quad dfrac mathrme^. . enumerate medskip Moral: der maximal mögliche Fehler reduziert sich bei jedem weiteren Summanden um etwa eine Dezimalstelle. Der wirkliche Fehler verhält sich daher nicht schlechter.