Volumen eines Spats
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
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Exercise:
Berechne das Volumen eines Spates. Der Spat wird durch die Vektoren AAx Ay Az BBx By Bz und CCx Cy Cz definiert.
Solution:
Ein Spat ist ein an den Ecken verzogener Quader. center tikzpicture scopexcmcmycos*.cmsin*.cm zcos*cmsin*cmline joinroundfill opacity.thick drawfillcyan -- -- -- -- cycle; drawfillred -- -- -- -- cycle; drawfillorange -- -- -- -- cycle; drawfillcyan -- -- -- -- cycle; drawfillred -- -- -- -- cycle; drawfillorange -- -- -- -- cycle; scope tikzpicture center Das Volumen eines Spates kann mit zwei verschiedenen Formeln berechnet werden. Hier wird das Volumen mit des Spatprodukt berechnet. mathbfA leftarrayc Ax Ay Az arrayrightquad mathbfB leftarrayc Bx By Bz arrayrightquad mathbfC leftarrayc Cx Cy Cz arrayright Im ersten Schritt wird das Vektorprodukt von AAx Ay Az und BBx By Bz berechnet. Ein Vektorprodukt ist die Verknüpfung von zwei dreidimensionalen Vektoren. Der dabei entstehe Vektor steht senkrecht auf die Ebe der beiden Vektoren A und B. Die Höhe dieses Vektors ist dann gleichzeitig auch die Fläche die die beiden Vektoren zwischen sich beschreiben. Das Vektorprodukt beschreibt die Grundfläche des Spates. Im zweiten wird das Skalarprodukt von dem Vektorprodukt und CCx Cy Cz berechnet. Der Vektor von C bestimmt dann die Höhe des Spates.Die Grundfläche multipliziert mit der Höhe ergibt wie bei einem Quader das Volumen des Spates. Im ersten Schritt wird das Vektorprodukt von A und B berechnet: mathbfA times mathbfB bmatrix A_ B_ - A_ B_ A_ B_ - A_ B_ A_ B_ - A_ B_ bmatrix leftarrayc aba abb abc arrayright Mit dem Skalarprodukt werden zwei Vektoren einer Zahl zugeordnet. mathbfA times mathbfB * mathbfC leftarrayc aba abb abc arrayright * leftarrayc Cx Cy Cz arrayright mathbfA times mathbfB * mathbfC leftarrayc Cx*aba Cy*abb Cz*abc arrayright Das Volumen ist jetzt durch einen Vektor ausgedrückt der von A B und C abhängig ist. Das Skalarprodukt wird nun fertiggestellt in dem man ihm einen Zahlenwert zuordnet. Dieser kann positiv oder negativ sein. Da ein Volumen immer positiv ist werden Betragstriche verwet. VmathbfA B C leftarrayc ABx ABy ABz arrayright VmathbfA B C |Cx* ABx + Cy*ABy + Cz*ABz| VmathbfA B C|Cx*Ay * Bz - Az * By + Cy*Az * Bx - Ax * Bz + Cz*Ax * By - Ay * Bx| pgfmathparseCx*Ay * Bz - Az * By + Cy*Az * Bx - Ax * Bz + Cz*Ax * By - Ay * Bx VmathbfA B C |pgfmathresult| Das Volumen des Spates beträgt |pgfmathresult| center tikzpicture scopexAxAyycos*Cxsin*Cy zcos*Bxsin*Byline joinroundfill opacity.thick drawfillcyan -- -- -- -- cycle; drawfillred -- -- -- -- cycle; drawfillorange -- -- -- -- cycle; drawfillcyan -- -- -- -- cycle; drawfillred -- -- -- -- cycle; drawfillorange -- -- -- -- cycle; scope tikzpicture center
Berechne das Volumen eines Spates. Der Spat wird durch die Vektoren AAx Ay Az BBx By Bz und CCx Cy Cz definiert.
Solution:
Ein Spat ist ein an den Ecken verzogener Quader. center tikzpicture scopexcmcmycos*.cmsin*.cm zcos*cmsin*cmline joinroundfill opacity.thick drawfillcyan -- -- -- -- cycle; drawfillred -- -- -- -- cycle; drawfillorange -- -- -- -- cycle; drawfillcyan -- -- -- -- cycle; drawfillred -- -- -- -- cycle; drawfillorange -- -- -- -- cycle; scope tikzpicture center Das Volumen eines Spates kann mit zwei verschiedenen Formeln berechnet werden. Hier wird das Volumen mit des Spatprodukt berechnet. mathbfA leftarrayc Ax Ay Az arrayrightquad mathbfB leftarrayc Bx By Bz arrayrightquad mathbfC leftarrayc Cx Cy Cz arrayright Im ersten Schritt wird das Vektorprodukt von AAx Ay Az und BBx By Bz berechnet. Ein Vektorprodukt ist die Verknüpfung von zwei dreidimensionalen Vektoren. Der dabei entstehe Vektor steht senkrecht auf die Ebe der beiden Vektoren A und B. Die Höhe dieses Vektors ist dann gleichzeitig auch die Fläche die die beiden Vektoren zwischen sich beschreiben. Das Vektorprodukt beschreibt die Grundfläche des Spates. Im zweiten wird das Skalarprodukt von dem Vektorprodukt und CCx Cy Cz berechnet. Der Vektor von C bestimmt dann die Höhe des Spates.Die Grundfläche multipliziert mit der Höhe ergibt wie bei einem Quader das Volumen des Spates. Im ersten Schritt wird das Vektorprodukt von A und B berechnet: mathbfA times mathbfB bmatrix A_ B_ - A_ B_ A_ B_ - A_ B_ A_ B_ - A_ B_ bmatrix leftarrayc aba abb abc arrayright Mit dem Skalarprodukt werden zwei Vektoren einer Zahl zugeordnet. mathbfA times mathbfB * mathbfC leftarrayc aba abb abc arrayright * leftarrayc Cx Cy Cz arrayright mathbfA times mathbfB * mathbfC leftarrayc Cx*aba Cy*abb Cz*abc arrayright Das Volumen ist jetzt durch einen Vektor ausgedrückt der von A B und C abhängig ist. Das Skalarprodukt wird nun fertiggestellt in dem man ihm einen Zahlenwert zuordnet. Dieser kann positiv oder negativ sein. Da ein Volumen immer positiv ist werden Betragstriche verwet. VmathbfA B C leftarrayc ABx ABy ABz arrayright VmathbfA B C |Cx* ABx + Cy*ABy + Cz*ABz| VmathbfA B C|Cx*Ay * Bz - Az * By + Cy*Az * Bx - Ax * Bz + Cz*Ax * By - Ay * Bx| pgfmathparseCx*Ay * Bz - Az * By + Cy*Az * Bx - Ax * Bz + Cz*Ax * By - Ay * Bx VmathbfA B C |pgfmathresult| Das Volumen des Spates beträgt |pgfmathresult| center tikzpicture scopexAxAyycos*Cxsin*Cy zcos*Bxsin*Byline joinroundfill opacity.thick drawfillcyan -- -- -- -- cycle; drawfillred -- -- -- -- cycle; drawfillorange -- -- -- -- cycle; drawfillcyan -- -- -- -- cycle; drawfillred -- -- -- -- cycle; drawfillorange -- -- -- -- cycle; scope tikzpicture center
Meta Information
Exercise:
Berechne das Volumen eines Spates. Der Spat wird durch die Vektoren AAx Ay Az BBx By Bz und CCx Cy Cz definiert.
Solution:
Ein Spat ist ein an den Ecken verzogener Quader. center tikzpicture scopexcmcmycos*.cmsin*.cm zcos*cmsin*cmline joinroundfill opacity.thick drawfillcyan -- -- -- -- cycle; drawfillred -- -- -- -- cycle; drawfillorange -- -- -- -- cycle; drawfillcyan -- -- -- -- cycle; drawfillred -- -- -- -- cycle; drawfillorange -- -- -- -- cycle; scope tikzpicture center Das Volumen eines Spates kann mit zwei verschiedenen Formeln berechnet werden. Hier wird das Volumen mit des Spatprodukt berechnet. mathbfA leftarrayc Ax Ay Az arrayrightquad mathbfB leftarrayc Bx By Bz arrayrightquad mathbfC leftarrayc Cx Cy Cz arrayright Im ersten Schritt wird das Vektorprodukt von AAx Ay Az und BBx By Bz berechnet. Ein Vektorprodukt ist die Verknüpfung von zwei dreidimensionalen Vektoren. Der dabei entstehe Vektor steht senkrecht auf die Ebe der beiden Vektoren A und B. Die Höhe dieses Vektors ist dann gleichzeitig auch die Fläche die die beiden Vektoren zwischen sich beschreiben. Das Vektorprodukt beschreibt die Grundfläche des Spates. Im zweiten wird das Skalarprodukt von dem Vektorprodukt und CCx Cy Cz berechnet. Der Vektor von C bestimmt dann die Höhe des Spates.Die Grundfläche multipliziert mit der Höhe ergibt wie bei einem Quader das Volumen des Spates. Im ersten Schritt wird das Vektorprodukt von A und B berechnet: mathbfA times mathbfB bmatrix A_ B_ - A_ B_ A_ B_ - A_ B_ A_ B_ - A_ B_ bmatrix leftarrayc aba abb abc arrayright Mit dem Skalarprodukt werden zwei Vektoren einer Zahl zugeordnet. mathbfA times mathbfB * mathbfC leftarrayc aba abb abc arrayright * leftarrayc Cx Cy Cz arrayright mathbfA times mathbfB * mathbfC leftarrayc Cx*aba Cy*abb Cz*abc arrayright Das Volumen ist jetzt durch einen Vektor ausgedrückt der von A B und C abhängig ist. Das Skalarprodukt wird nun fertiggestellt in dem man ihm einen Zahlenwert zuordnet. Dieser kann positiv oder negativ sein. Da ein Volumen immer positiv ist werden Betragstriche verwet. VmathbfA B C leftarrayc ABx ABy ABz arrayright VmathbfA B C |Cx* ABx + Cy*ABy + Cz*ABz| VmathbfA B C|Cx*Ay * Bz - Az * By + Cy*Az * Bx - Ax * Bz + Cz*Ax * By - Ay * Bx| pgfmathparseCx*Ay * Bz - Az * By + Cy*Az * Bx - Ax * Bz + Cz*Ax * By - Ay * Bx VmathbfA B C |pgfmathresult| Das Volumen des Spates beträgt |pgfmathresult| center tikzpicture scopexAxAyycos*Cxsin*Cy zcos*Bxsin*Byline joinroundfill opacity.thick drawfillcyan -- -- -- -- cycle; drawfillred -- -- -- -- cycle; drawfillorange -- -- -- -- cycle; drawfillcyan -- -- -- -- cycle; drawfillred -- -- -- -- cycle; drawfillorange -- -- -- -- cycle; scope tikzpicture center
Berechne das Volumen eines Spates. Der Spat wird durch die Vektoren AAx Ay Az BBx By Bz und CCx Cy Cz definiert.
Solution:
Ein Spat ist ein an den Ecken verzogener Quader. center tikzpicture scopexcmcmycos*.cmsin*.cm zcos*cmsin*cmline joinroundfill opacity.thick drawfillcyan -- -- -- -- cycle; drawfillred -- -- -- -- cycle; drawfillorange -- -- -- -- cycle; drawfillcyan -- -- -- -- cycle; drawfillred -- -- -- -- cycle; drawfillorange -- -- -- -- cycle; scope tikzpicture center Das Volumen eines Spates kann mit zwei verschiedenen Formeln berechnet werden. Hier wird das Volumen mit des Spatprodukt berechnet. mathbfA leftarrayc Ax Ay Az arrayrightquad mathbfB leftarrayc Bx By Bz arrayrightquad mathbfC leftarrayc Cx Cy Cz arrayright Im ersten Schritt wird das Vektorprodukt von AAx Ay Az und BBx By Bz berechnet. Ein Vektorprodukt ist die Verknüpfung von zwei dreidimensionalen Vektoren. Der dabei entstehe Vektor steht senkrecht auf die Ebe der beiden Vektoren A und B. Die Höhe dieses Vektors ist dann gleichzeitig auch die Fläche die die beiden Vektoren zwischen sich beschreiben. Das Vektorprodukt beschreibt die Grundfläche des Spates. Im zweiten wird das Skalarprodukt von dem Vektorprodukt und CCx Cy Cz berechnet. Der Vektor von C bestimmt dann die Höhe des Spates.Die Grundfläche multipliziert mit der Höhe ergibt wie bei einem Quader das Volumen des Spates. Im ersten Schritt wird das Vektorprodukt von A und B berechnet: mathbfA times mathbfB bmatrix A_ B_ - A_ B_ A_ B_ - A_ B_ A_ B_ - A_ B_ bmatrix leftarrayc aba abb abc arrayright Mit dem Skalarprodukt werden zwei Vektoren einer Zahl zugeordnet. mathbfA times mathbfB * mathbfC leftarrayc aba abb abc arrayright * leftarrayc Cx Cy Cz arrayright mathbfA times mathbfB * mathbfC leftarrayc Cx*aba Cy*abb Cz*abc arrayright Das Volumen ist jetzt durch einen Vektor ausgedrückt der von A B und C abhängig ist. Das Skalarprodukt wird nun fertiggestellt in dem man ihm einen Zahlenwert zuordnet. Dieser kann positiv oder negativ sein. Da ein Volumen immer positiv ist werden Betragstriche verwet. VmathbfA B C leftarrayc ABx ABy ABz arrayright VmathbfA B C |Cx* ABx + Cy*ABy + Cz*ABz| VmathbfA B C|Cx*Ay * Bz - Az * By + Cy*Az * Bx - Ax * Bz + Cz*Ax * By - Ay * Bx| pgfmathparseCx*Ay * Bz - Az * By + Cy*Az * Bx - Ax * Bz + Cz*Ax * By - Ay * Bx VmathbfA B C |pgfmathresult| Das Volumen des Spates beträgt |pgfmathresult| center tikzpicture scopexAxAyycos*Cxsin*Cy zcos*Bxsin*Byline joinroundfill opacity.thick drawfillcyan -- -- -- -- cycle; drawfillred -- -- -- -- cycle; drawfillorange -- -- -- -- cycle; drawfillcyan -- -- -- -- cycle; drawfillred -- -- -- -- cycle; drawfillorange -- -- -- -- cycle; scope tikzpicture center
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