Exercise:
Berechne das Volumen eines Spates. Der Spat wird durch die Vektoren AAx Ay Az BBx By Bz und CCx Cy Cz definiert.

Solution:
Ein Spat ist ein an den Ecken verzogener Quader. center tikzpicture scopexcmcmycos*.cmsin*.cm zcos*cmsin*cmline joinroundfill opacity.thick drawfillcyan -- -- -- -- cycle; drawfillred -- -- -- -- cycle; drawfillorange -- -- -- -- cycle; drawfillcyan -- -- -- -- cycle; drawfillred -- -- -- -- cycle; drawfillorange -- -- -- -- cycle; scope tikzpicture center Das Volumen eines Spates kann mit zwei verschiedenen Formeln berechnet werden. Hier wird das Volumen mit des Spatprodukt berechnet. mathbfA leftarrayc Ax Ay Az arrayrightquad mathbfB leftarrayc Bx By Bz arrayrightquad mathbfC leftarrayc Cx Cy Cz arrayright Im ersten Schritt wird das Vektorprodukt von AAx Ay Az und BBx By Bz berechnet. Ein Vektorprodukt ist die Verknüpfung von zwei dreidimensionalen Vektoren. Der dabei entstehe Vektor steht senkrecht auf die Ebe der beiden Vektoren A und B. Die Höhe dieses Vektors ist dann gleichzeitig auch die Fläche die die beiden Vektoren zwischen sich beschreiben. Das Vektorprodukt beschreibt die Grundfläche des Spates. Im zweiten wird das Skalarprodukt von dem Vektorprodukt und CCx Cy Cz berechnet. Der Vektor von C bestimmt dann die Höhe des Spates.Die Grundfläche multipliziert mit der Höhe ergibt wie bei einem Quader das Volumen des Spates. Im ersten Schritt wird das Vektorprodukt von A und B berechnet: mathbfA times mathbfB bmatrix A_ B_ - A_ B_ A_ B_ - A_ B_ A_ B_ - A_ B_ bmatrix leftarrayc aba abb abc arrayright Mit dem Skalarprodukt werden zwei Vektoren einer Zahl zugeordnet. mathbfA times mathbfB * mathbfC leftarrayc aba abb abc arrayright * leftarrayc Cx Cy Cz arrayright mathbfA times mathbfB * mathbfC leftarrayc Cx*aba Cy*abb Cz*abc arrayright Das Volumen ist jetzt durch einen Vektor ausgedrückt der von A B und C abhängig ist. Das Skalarprodukt wird nun fertiggestellt in dem man ihm einen Zahlenwert zuordnet. Dieser kann positiv oder negativ sein. Da ein Volumen immer positiv ist werden Betragstriche verwet. VmathbfA B C leftarrayc ABx ABy ABz arrayright VmathbfA B C |Cx* ABx + Cy*ABy + Cz*ABz| VmathbfA B C|Cx*Ay * Bz - Az * By + Cy*Az * Bx - Ax * Bz + Cz*Ax * By - Ay * Bx| pgfmathparseCx*Ay * Bz - Az * By + Cy*Az * Bx - Ax * Bz + Cz*Ax * By - Ay * Bx VmathbfA B C |pgfmathresult| Das Volumen des Spates beträgt |pgfmathresult| center tikzpicture scopexAxAyycos*Cxsin*Cy zcos*Bxsin*Byline joinroundfill opacity.thick drawfillcyan -- -- -- -- cycle; drawfillred -- -- -- -- cycle; drawfillorange -- -- -- -- cycle; drawfillcyan -- -- -- -- cycle; drawfillred -- -- -- -- cycle; drawfillorange -- -- -- -- cycle; scope tikzpicture center