Exercise
https://texercises.com/exercise/zwei-steine-nach-oben-werfen/
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Exercise:
renewcommanddmathrmd newcommandal # Zwei Steine werden mit einer jeweiligen Anfangsgeschwindigkeit v_ mit einem Zeitabstand t_ senkrecht nach oben geworfen. abcliste abc Stelle die Bewegungsgleichungen für die beiden Steine auf. abc Löse diese Bewegungsgleichungen. abc Nach welcher Zeit treffen sich die Steine? abc Welche Geschwindigkeit haben sie zu dieser Zeit? abcliste

Solution:
renewcommanddmathrmd newcommandal # abcliste abc Auf die Steine wirkt die Erdbeschleunigung g zunächst in entgegengesetzter Richtung. Somit lauten die Bewegungsgleichungen: al ddot x_ -g ddot x_ -g abc Die Anfangsbedingungen lauten: al dot x_ v_ &dot x_t_ v_ x_ &x_t_ Durch Integrieren und Einsetzen der Anfangsbedingungen erhält man: al _^t ddot x_ d t -_^t gd t & _t_^t ddot x_ d t -_t_^t gd t dot x_t - dot x_ -gt- & dot x_t - dot x_t_ -gt-t_ dot x_t -gt + v_ & dot x_t -gt-t_ + v_ Erneutes Integrieren liefert die Lösungen: al _^t dot x_ d t - _^t gt-v_ d t & _t_^t dot x_ - _t_^t gt-t_ - v_ d t x_t - x_ -frac gt^ + v_t & x_t - x_t_ - fracgt^-t_^ + gt_t-t_ + v_t-t_ x_t -fracgt^+v_t &x_t -fracgt-t_^+v_t-t_ abc Die Steine treffen sich dann wenn ihre Position gleich ist also die Bedingung x_ x_ erfüllt ist. Dies führt zu einer Gleichung die sich nach der Treffzeit T auflösen lässt. al -fracgT^+v_T -fracgT-t_^+v_T-t_ -fracgT^ + gTt_ - fracgt_^ + v_T -v_t_ gTt_ - fracgt_^ -v_t_ T frac t_ + fracv_g abc Die Geschwindigkeiten ergeben sich durch einsetzen der Treffzeit in die Geschwindigkeitsfunktionen dot x_ bzw. dot x_: al dot x_T -gleftfract_ + fracv_gright + v_ & dot x_T -gleftfract_ + frac v_g - t_right + v_ -fracgt_ & fracgt_ Da wir die positive Richtung beim Aufstellen der Bewegungsgleichung als nach oben definiert haben fällt der erste Stein mit der Geschwindigkeit fracgt_ nach unten und der zweite Stein mit derselben nach oben. abcliste
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\(\LaTeX\)-Code
Exercise:
renewcommanddmathrmd newcommandal # Zwei Steine werden mit einer jeweiligen Anfangsgeschwindigkeit v_ mit einem Zeitabstand t_ senkrecht nach oben geworfen. abcliste abc Stelle die Bewegungsgleichungen für die beiden Steine auf. abc Löse diese Bewegungsgleichungen. abc Nach welcher Zeit treffen sich die Steine? abc Welche Geschwindigkeit haben sie zu dieser Zeit? abcliste

Solution:
renewcommanddmathrmd newcommandal # abcliste abc Auf die Steine wirkt die Erdbeschleunigung g zunächst in entgegengesetzter Richtung. Somit lauten die Bewegungsgleichungen: al ddot x_ -g ddot x_ -g abc Die Anfangsbedingungen lauten: al dot x_ v_ &dot x_t_ v_ x_ &x_t_ Durch Integrieren und Einsetzen der Anfangsbedingungen erhält man: al _^t ddot x_ d t -_^t gd t & _t_^t ddot x_ d t -_t_^t gd t dot x_t - dot x_ -gt- & dot x_t - dot x_t_ -gt-t_ dot x_t -gt + v_ & dot x_t -gt-t_ + v_ Erneutes Integrieren liefert die Lösungen: al _^t dot x_ d t - _^t gt-v_ d t & _t_^t dot x_ - _t_^t gt-t_ - v_ d t x_t - x_ -frac gt^ + v_t & x_t - x_t_ - fracgt^-t_^ + gt_t-t_ + v_t-t_ x_t -fracgt^+v_t &x_t -fracgt-t_^+v_t-t_ abc Die Steine treffen sich dann wenn ihre Position gleich ist also die Bedingung x_ x_ erfüllt ist. Dies führt zu einer Gleichung die sich nach der Treffzeit T auflösen lässt. al -fracgT^+v_T -fracgT-t_^+v_T-t_ -fracgT^ + gTt_ - fracgt_^ + v_T -v_t_ gTt_ - fracgt_^ -v_t_ T frac t_ + fracv_g abc Die Geschwindigkeiten ergeben sich durch einsetzen der Treffzeit in die Geschwindigkeitsfunktionen dot x_ bzw. dot x_: al dot x_T -gleftfract_ + fracv_gright + v_ & dot x_T -gleftfract_ + frac v_g - t_right + v_ -fracgt_ & fracgt_ Da wir die positive Richtung beim Aufstellen der Bewegungsgleichung als nach oben definiert haben fällt der erste Stein mit der Geschwindigkeit fracgt_ nach unten und der zweite Stein mit derselben nach oben. abcliste
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Attributes & Decorations
Tags
anfangswertproblem, bewegungsgleichung, differentialgleichung, erdbeschleunigung, mechanik, senkrechter, steine
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Difficulty
(4, default)
Points
5 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Calculative / Quantity
Creator pw
Decoration
File
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