Exercise
https://texercises.com/exercise/dalemberts-quotientenkriterium/
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Exercise:
Sei a_n_n eine Folge komplexer Zahlen mit a_n neq für alle n in mathbbN s.d. alpha lim limits_n to infty frac|a_n+||a_n| existiert. Dann gilt alpha & Longrightarrow _n^infty a_n textist absolut konvergent alpha & Longrightarrow _n^infty a_n textist divergent und a_n_n konvergiert nicht gegen Null.

Solution:
Beweis. bf . Fall: Sei alpha lim limits_n to infty frac|a_n+||a_n|. Sei q mit alpha q . Es gibt N in mathbbN s.d. frac|a_n+||a_n| & q für alle n geq N. |a_n+| & q|a_n| Induktion: |a_n| leq q^n-N|a_N| für n geq N Majorantenkriterium mit b_n q^-N|a_N|q^n. _n^infty b_n geometrische Reihe konvergiert. Es folgt _k^infty a_k konvergiert. bf . Fall: Es gibt ein N s.d. left|fraca_n+a_nright| geq q für n geq N Longrightarrow keine Nullfolge.
Meta Information
\(\LaTeX\)-Code
Exercise:
Sei a_n_n eine Folge komplexer Zahlen mit a_n neq für alle n in mathbbN s.d. alpha lim limits_n to infty frac|a_n+||a_n| existiert. Dann gilt alpha & Longrightarrow _n^infty a_n textist absolut konvergent alpha & Longrightarrow _n^infty a_n textist divergent und a_n_n konvergiert nicht gegen Null.

Solution:
Beweis. bf . Fall: Sei alpha lim limits_n to infty frac|a_n+||a_n|. Sei q mit alpha q . Es gibt N in mathbbN s.d. frac|a_n+||a_n| & q für alle n geq N. |a_n+| & q|a_n| Induktion: |a_n| leq q^n-N|a_N| für n geq N Majorantenkriterium mit b_n q^-N|a_N|q^n. _n^infty b_n geometrische Reihe konvergiert. Es folgt _k^infty a_k konvergiert. bf . Fall: Es gibt ein N s.d. left|fraca_n+a_nright| geq q für n geq N Longrightarrow keine Nullfolge.
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
analysis i, beweis, eth, folgen, hs22, konvergent, proof, quotientenkriterium, reihen
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Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Creator rk
Decoration
File
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