Hydrodynamik: Luftwiderstand 22
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Exercise:
Ein kleines Styropor-Kügelchen wird unter Wasser losgelassen. Auf das Kügelchen wirken die Gewichtskraft die Auftriebskraft und der Stokes'sche Strömungswiderstand. Stellen Sie die Differentialgleichung für die Bewegung auf und lösen Sie diese formal. quad
Solution:
% . April Lie. * &F_textres ma &F_A-F_G-F_W ma &tfracpi r^ rho_W g -tfracpi r^ rho_S g - pieta r v tfracpi r^ rho_S fracdvdt &fracdvdt fracrho_W grho_S - g - fraceta r^ rho_S v &fracdvdt a_ -v/tau qquad textvereinfachte Differentialgleichung & fracdva_-v/tau dt &-tau lnfraca_-v/taua_ t qquad textev. -t_ &a_-v/tau a_exp-t/tau &vt a_tau - a_ tau exp-t/tau &yt v dt y_ + a_tau t +a_tau^exp-t/tau * Die Kügelchen-Geschwindigkeit vt nähert sich exponentiell der asymptotischen Grenzgeschwindigkeit v_infty a_tau an. Die unterdrückte Integrationskonstante verschiebt lediglich den Startzeitpunkt. Die Rechnung ignoriert die zusätzliche Trägheit durch mitgezogenes Fluid ``added mass''. Unter vereinfachen Annahmen Potentialströmung folgt dass das mitgezogene Fluid her einer Kugel das halbe Kugelvolumen einnimmt. Bei einem langen Zylinder erwartet man ein zusätzliches träges Fluidvolumen gleich dem Zylindervolumen. % Added_Mass_Derivation_.pdf Professor A.H. Techet by TA B. P. Epps ocw.mit.edu abgerufen . April Wird die Masse des mitgezogenen Wassers berücksichtigt so hat die Differentialgleichung immer noch dieselbe Struktur aber die Parameterwerte ändern. newpage
Ein kleines Styropor-Kügelchen wird unter Wasser losgelassen. Auf das Kügelchen wirken die Gewichtskraft die Auftriebskraft und der Stokes'sche Strömungswiderstand. Stellen Sie die Differentialgleichung für die Bewegung auf und lösen Sie diese formal. quad
Solution:
% . April Lie. * &F_textres ma &F_A-F_G-F_W ma &tfracpi r^ rho_W g -tfracpi r^ rho_S g - pieta r v tfracpi r^ rho_S fracdvdt &fracdvdt fracrho_W grho_S - g - fraceta r^ rho_S v &fracdvdt a_ -v/tau qquad textvereinfachte Differentialgleichung & fracdva_-v/tau dt &-tau lnfraca_-v/taua_ t qquad textev. -t_ &a_-v/tau a_exp-t/tau &vt a_tau - a_ tau exp-t/tau &yt v dt y_ + a_tau t +a_tau^exp-t/tau * Die Kügelchen-Geschwindigkeit vt nähert sich exponentiell der asymptotischen Grenzgeschwindigkeit v_infty a_tau an. Die unterdrückte Integrationskonstante verschiebt lediglich den Startzeitpunkt. Die Rechnung ignoriert die zusätzliche Trägheit durch mitgezogenes Fluid ``added mass''. Unter vereinfachen Annahmen Potentialströmung folgt dass das mitgezogene Fluid her einer Kugel das halbe Kugelvolumen einnimmt. Bei einem langen Zylinder erwartet man ein zusätzliches träges Fluidvolumen gleich dem Zylindervolumen. % Added_Mass_Derivation_.pdf Professor A.H. Techet by TA B. P. Epps ocw.mit.edu abgerufen . April Wird die Masse des mitgezogenen Wassers berücksichtigt so hat die Differentialgleichung immer noch dieselbe Struktur aber die Parameterwerte ändern. newpage