Oszillation bzgl. Lebesgue-Kriterium
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Exercise:
Sei f:Xrightarrow mathbbR eine beschränkte Funktion auf einem metrischen Raum X. Für jedes eta geq ist die Teilmenge N_eta xin X mid omegafxgeq eta subseteq X abgeschlossen.
Solution:
Sei eta geq und sei x_k_k eine konvergente Folge in X mit omegafx_kgeq eta für alle kin mathbbN und mit Grenzwert xin X. Sei delta beliebig. Dann existiert ein k mit x_kin B_deltax. Da B_deltax offen ist gibt es des Weiteren ein delta_k mit B_delta_kx_k subseteq B_deltax. Nun ist textsupfB_deltax &geq textsupfB_delta_kx_k textinffB_deltax &geq textinffB_delta_kx_k und daher omegafxdelta geq omegafx_kdelta_k. Da aber omegafx_kdelta_k geq omegafx_k geq eta gilt erhält man omegafxdelta geq eta. Da delta beliebig war folgt das Lemma.
Sei f:Xrightarrow mathbbR eine beschränkte Funktion auf einem metrischen Raum X. Für jedes eta geq ist die Teilmenge N_eta xin X mid omegafxgeq eta subseteq X abgeschlossen.
Solution:
Sei eta geq und sei x_k_k eine konvergente Folge in X mit omegafx_kgeq eta für alle kin mathbbN und mit Grenzwert xin X. Sei delta beliebig. Dann existiert ein k mit x_kin B_deltax. Da B_deltax offen ist gibt es des Weiteren ein delta_k mit B_delta_kx_k subseteq B_deltax. Nun ist textsupfB_deltax &geq textsupfB_delta_kx_k textinffB_deltax &geq textinffB_delta_kx_k und daher omegafxdelta geq omegafx_kdelta_k. Da aber omegafx_kdelta_k geq omegafx_k geq eta gilt erhält man omegafxdelta geq eta. Da delta beliebig war folgt das Lemma.