Exercise:
Der Satz von HeinBorel beschreibt die kompakten Teilmengen von mathbbR^d für dgeq . In dieser Übung sollen die kompakten Teilmengen in einer weiteren Situation beschrieben werden. Sei K ein kompakter metrischer Raum und sei mathcalFsubseteq CK eine Familie stetiger Funktionen wobei man CK mit der Norm ||||_infty ausstattet. Zeigen Sie dass mathcalF genau dann kompakt ist wenn die folgen drei Bedingungen erfüllt sind: itemize item mathcalF ist abgeschlossen. item mathcalF ist beschränkt. item mathcalF ist gleichstetig. Das heisst es gibt für alle epsilon ein delta so dass für alle fin mathcalF und für alle xyin K gilt textdxy delta Longrightarrow |fx-fy| epsilon. glm. stetig unabhängig von Fkt! Nochmal mächtiger... itemize Typische Anwung: Jede beschränkte Folge von lambda Lipschitz Fkt f_n:Krightarrow mathbbR lambda geq fest besitzt eine Teilfolge die glm. gegen eine lambda lip. Fkt. f:Krightarrow mathbbR konvergiert.

Solution:
Beweis. Sei mathcalF kompakt. Nach Lemma . ist mathcalF abgeschlossen und beschränkt. mathcalF ist total beschränkt Longrightarrow exists f_...f_nin mathcalF s.d. forall fin mathcalF ein jin ...n existiert mit ||f-f_j||_infty fracepsilon. K kompakt Longrightarrow Proposition . exists delta s.d. |f_kx-f_ky| fracepsilon forall kin ...n forall xyin K mit textdxy delta. Somit |fx-fy| leq |fx-f_jx|+|f_jx-f_jy|+|f_jy-fy| epsilon. D.h. mathcalF ist gleichstetig. Sei umgekehrt mathcalF abgeschlossen beschränkt und gleichstetig f_n_n eine Folge in mathcalF K total beschränkt Longrightarrow exists abzählbare dichte Teilmenge Dx_j|jin mathbbNsubseteq K x_j paarweise verschieden. mathcalF ist beschränkt Longrightarrow forall j ist f_nx_j_n beschränkt. Wähle sukzessive eine Teilfolge n_k_k von n_n s.d. f_n_kx_ konvergiert nächste Teilfolge n_k_k von n_k_k s.d. f_n_kx_ konvergiert nächste Teilfolge n_k_k von n_k_k s.d. f_n_kx_ konvergiert unlich weiter so.Sei dann n_k_kn_kk_k die Diagonalfolge aufschreiben wie Matrix forall j konvergiert f_n_kx_j_K gegen ein fx_jin mathbbR. Dies definiert eine Fkt f:Drightarrow mathbbR. mathcalF gleichstetig Longrightarrow forall epsilon exists delta s.d. |f_n_kx-f_n_ky| epsilon forall kin mathbbN forall xyin D mit dxy delta somit |fx-fy|leq epsilon forall xyin D mit dxy delta. D.h. f ist glm stetig auf D. f lässt sich auf eindeutige Weise zu einer stetigen Funktion f:Krightarrow mathbbR ergänzen: Für xin Kbackslash D existiert eine Folge y_l_l in D mit Grenzwert x D ist dicht in K und fy_l_l ist Cauchy. Aus dxy dxy' fracdelta yy'in D folgt dyy' delta und |fy-fy'|leq epsilon. Der Grenzwert fxlim_jrightarrow inftyfy_l ist unabhängig von y_l_l. gilt auch für f:Krightarrow mathbbR xyin K. f_n_K_k konvergiert glm. gegen f epsilon delta wie oben. Wähle l. Menge Esubset D und Nin mathbbN s.d. Kbigcup_yin EB_deltay und |fy-f_n_ky| epsilon forall yin E und kgeq N. Für xin K und kgeq N folgt: exists yin E mit dxy delta und |fx-f_n_kx|leq |fx-fy|+|fy-f_n_ky|+|f_n_ky-f_n_kx| epsilon