Satz von Heine-Borel
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
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Short
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Exercise:
Eine Teilmenge Ksubseteq mathbbR^d für dgeq ist genau dann kompakt wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Insbesondere besitzt jede beschränkte Folge in mathbbR^d eine konvergente Teilfolge.
Solution:
Beweis. Ist K kompakt dann ist K nach Lemma . Longrightarrow abgeschlossen und beschränkt. Für die Umkehrung Longleftarrow zeigt man dass K folgenkompakt ist. Sei also x_n_n eine Folge in K. Da K beschränkt ist ist die Folge beschränkt. Man konstruiert nun iterativ eine konvergente Teilfolge von x_n_n. Da x_n_n beschränkt ist ist auch die Folge der Komponenten pi_x_n_n beschränkt und besitzt somit nach Satz . eine konvergente Teilfolge pi_x_n_k_k. Nach demselben Arugument besitzt die Folge der Komponenten pi_x_n_k_n eine konvergente Teilfolge um die Notation zu vereinfachen bezeichnet man diese wieder mit pi_x_n_k_k. Setzt man dieses Argument fort erhält man eine Teilfolge x_n_k_k mit der Eigenschaft dass für alle jin ...d die Folge der Komponenten pi_jpi_x_n_k_k. Nach Proposition . ist somit auch x_n_k_k konvergent. Der Grenzwert xin mathbbR^d dieser Teilfolge muss in K liegen da K abgeschlossen ist Lemma .. Dies beweist dass jede Folge in K eine konvergente Teilfolge besitzt also ist K kompakt. Ist x_n_n eine beschränkte Folge in mathbbR^d so kann man x_n_n als Folge in einem abgeschlossenen Ball auffassen womit auch die letzte Aussage des Satzes folgt.
Eine Teilmenge Ksubseteq mathbbR^d für dgeq ist genau dann kompakt wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Insbesondere besitzt jede beschränkte Folge in mathbbR^d eine konvergente Teilfolge.
Solution:
Beweis. Ist K kompakt dann ist K nach Lemma . Longrightarrow abgeschlossen und beschränkt. Für die Umkehrung Longleftarrow zeigt man dass K folgenkompakt ist. Sei also x_n_n eine Folge in K. Da K beschränkt ist ist die Folge beschränkt. Man konstruiert nun iterativ eine konvergente Teilfolge von x_n_n. Da x_n_n beschränkt ist ist auch die Folge der Komponenten pi_x_n_n beschränkt und besitzt somit nach Satz . eine konvergente Teilfolge pi_x_n_k_k. Nach demselben Arugument besitzt die Folge der Komponenten pi_x_n_k_n eine konvergente Teilfolge um die Notation zu vereinfachen bezeichnet man diese wieder mit pi_x_n_k_k. Setzt man dieses Argument fort erhält man eine Teilfolge x_n_k_k mit der Eigenschaft dass für alle jin ...d die Folge der Komponenten pi_jpi_x_n_k_k. Nach Proposition . ist somit auch x_n_k_k konvergent. Der Grenzwert xin mathbbR^d dieser Teilfolge muss in K liegen da K abgeschlossen ist Lemma .. Dies beweist dass jede Folge in K eine konvergente Teilfolge besitzt also ist K kompakt. Ist x_n_n eine beschränkte Folge in mathbbR^d so kann man x_n_n als Folge in einem abgeschlossenen Ball auffassen womit auch die letzte Aussage des Satzes folgt.
Meta Information
Exercise:
Eine Teilmenge Ksubseteq mathbbR^d für dgeq ist genau dann kompakt wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Insbesondere besitzt jede beschränkte Folge in mathbbR^d eine konvergente Teilfolge.
Solution:
Beweis. Ist K kompakt dann ist K nach Lemma . Longrightarrow abgeschlossen und beschränkt. Für die Umkehrung Longleftarrow zeigt man dass K folgenkompakt ist. Sei also x_n_n eine Folge in K. Da K beschränkt ist ist die Folge beschränkt. Man konstruiert nun iterativ eine konvergente Teilfolge von x_n_n. Da x_n_n beschränkt ist ist auch die Folge der Komponenten pi_x_n_n beschränkt und besitzt somit nach Satz . eine konvergente Teilfolge pi_x_n_k_k. Nach demselben Arugument besitzt die Folge der Komponenten pi_x_n_k_n eine konvergente Teilfolge um die Notation zu vereinfachen bezeichnet man diese wieder mit pi_x_n_k_k. Setzt man dieses Argument fort erhält man eine Teilfolge x_n_k_k mit der Eigenschaft dass für alle jin ...d die Folge der Komponenten pi_jpi_x_n_k_k. Nach Proposition . ist somit auch x_n_k_k konvergent. Der Grenzwert xin mathbbR^d dieser Teilfolge muss in K liegen da K abgeschlossen ist Lemma .. Dies beweist dass jede Folge in K eine konvergente Teilfolge besitzt also ist K kompakt. Ist x_n_n eine beschränkte Folge in mathbbR^d so kann man x_n_n als Folge in einem abgeschlossenen Ball auffassen womit auch die letzte Aussage des Satzes folgt.
Eine Teilmenge Ksubseteq mathbbR^d für dgeq ist genau dann kompakt wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Insbesondere besitzt jede beschränkte Folge in mathbbR^d eine konvergente Teilfolge.
Solution:
Beweis. Ist K kompakt dann ist K nach Lemma . Longrightarrow abgeschlossen und beschränkt. Für die Umkehrung Longleftarrow zeigt man dass K folgenkompakt ist. Sei also x_n_n eine Folge in K. Da K beschränkt ist ist die Folge beschränkt. Man konstruiert nun iterativ eine konvergente Teilfolge von x_n_n. Da x_n_n beschränkt ist ist auch die Folge der Komponenten pi_x_n_n beschränkt und besitzt somit nach Satz . eine konvergente Teilfolge pi_x_n_k_k. Nach demselben Arugument besitzt die Folge der Komponenten pi_x_n_k_n eine konvergente Teilfolge um die Notation zu vereinfachen bezeichnet man diese wieder mit pi_x_n_k_k. Setzt man dieses Argument fort erhält man eine Teilfolge x_n_k_k mit der Eigenschaft dass für alle jin ...d die Folge der Komponenten pi_jpi_x_n_k_k. Nach Proposition . ist somit auch x_n_k_k konvergent. Der Grenzwert xin mathbbR^d dieser Teilfolge muss in K liegen da K abgeschlossen ist Lemma .. Dies beweist dass jede Folge in K eine konvergente Teilfolge besitzt also ist K kompakt. Ist x_n_n eine beschränkte Folge in mathbbR^d so kann man x_n_n als Folge in einem abgeschlossenen Ball auffassen womit auch die letzte Aussage des Satzes folgt.
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