Satz von Schwarz
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
Video
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Exercise:
Sei U subseteq mathbbR^n offen und f:U rightarrow mathbbR eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt für alle jk in ...n partial_jpartial_kfpartial_kpartial_jf auf ganz U.
Solution:
Beweis. Es genügt den Fall n und j k zu betrachten der allgemeine Fall ist nur in der Notation schwiereiger und folgt auch aus dem betrachteten Spezialfall. Für x in U und ein genüg kleines h s.d. x_+t_hx_+t_hin U für alle t_t_ in definiert man eine Funktion F durch Fhfx_+hx_+h-fx_+hx_-fx_x_+h+fx_x_ Weiter betrachtet man für ein genüg kleines aber festes h in die nach der Kettenregel differenzierbare Funktion t in mapsto phitfx_+thx_+h-fx_+thx_ und erhält Fhphi-phiphi'xi_partial_fx_+xi_hx_+h-partial_fx_+xi_hx_h für ein xi_ in nach dem eindimensionalen MWS angewet auf die Hilfsfunktion phi. Eine nochmalige Anwungen des eindimensionalen MWS auf die Funktion psi:t in mapsto partial_fx_+xi_hx_+th ergibt gemeinsam mit der Kettenregel Fhpartial_partial_fx_+xi_'hx_+xi_'hh^. Man dividiert nun durch h^ und erhält partial_partial_fx_+xi_hx_+xi_hpartial_partial_fx_+xi_'hx_+xi_'hh^. Des Weiteren gilt wegen xi_xi_xi_'xi_' in dass xi_hxi_h und xi_'hxi_'h beide gegen streben wenn h rightarrow . Also folgt auf Grund der Stetigkeit beider partiellen Ableitungen partial_partial_fxpartial_partial_fx wie gewünscht.
Sei U subseteq mathbbR^n offen und f:U rightarrow mathbbR eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt für alle jk in ...n partial_jpartial_kfpartial_kpartial_jf auf ganz U.
Solution:
Beweis. Es genügt den Fall n und j k zu betrachten der allgemeine Fall ist nur in der Notation schwiereiger und folgt auch aus dem betrachteten Spezialfall. Für x in U und ein genüg kleines h s.d. x_+t_hx_+t_hin U für alle t_t_ in definiert man eine Funktion F durch Fhfx_+hx_+h-fx_+hx_-fx_x_+h+fx_x_ Weiter betrachtet man für ein genüg kleines aber festes h in die nach der Kettenregel differenzierbare Funktion t in mapsto phitfx_+thx_+h-fx_+thx_ und erhält Fhphi-phiphi'xi_partial_fx_+xi_hx_+h-partial_fx_+xi_hx_h für ein xi_ in nach dem eindimensionalen MWS angewet auf die Hilfsfunktion phi. Eine nochmalige Anwungen des eindimensionalen MWS auf die Funktion psi:t in mapsto partial_fx_+xi_hx_+th ergibt gemeinsam mit der Kettenregel Fhpartial_partial_fx_+xi_'hx_+xi_'hh^. Man dividiert nun durch h^ und erhält partial_partial_fx_+xi_hx_+xi_hpartial_partial_fx_+xi_'hx_+xi_'hh^. Des Weiteren gilt wegen xi_xi_xi_'xi_' in dass xi_hxi_h und xi_'hxi_'h beide gegen streben wenn h rightarrow . Also folgt auf Grund der Stetigkeit beider partiellen Ableitungen partial_partial_fxpartial_partial_fx wie gewünscht.
Meta Information
Exercise:
Sei U subseteq mathbbR^n offen und f:U rightarrow mathbbR eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt für alle jk in ...n partial_jpartial_kfpartial_kpartial_jf auf ganz U.
Solution:
Beweis. Es genügt den Fall n und j k zu betrachten der allgemeine Fall ist nur in der Notation schwiereiger und folgt auch aus dem betrachteten Spezialfall. Für x in U und ein genüg kleines h s.d. x_+t_hx_+t_hin U für alle t_t_ in definiert man eine Funktion F durch Fhfx_+hx_+h-fx_+hx_-fx_x_+h+fx_x_ Weiter betrachtet man für ein genüg kleines aber festes h in die nach der Kettenregel differenzierbare Funktion t in mapsto phitfx_+thx_+h-fx_+thx_ und erhält Fhphi-phiphi'xi_partial_fx_+xi_hx_+h-partial_fx_+xi_hx_h für ein xi_ in nach dem eindimensionalen MWS angewet auf die Hilfsfunktion phi. Eine nochmalige Anwungen des eindimensionalen MWS auf die Funktion psi:t in mapsto partial_fx_+xi_hx_+th ergibt gemeinsam mit der Kettenregel Fhpartial_partial_fx_+xi_'hx_+xi_'hh^. Man dividiert nun durch h^ und erhält partial_partial_fx_+xi_hx_+xi_hpartial_partial_fx_+xi_'hx_+xi_'hh^. Des Weiteren gilt wegen xi_xi_xi_'xi_' in dass xi_hxi_h und xi_'hxi_'h beide gegen streben wenn h rightarrow . Also folgt auf Grund der Stetigkeit beider partiellen Ableitungen partial_partial_fxpartial_partial_fx wie gewünscht.
Sei U subseteq mathbbR^n offen und f:U rightarrow mathbbR eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt für alle jk in ...n partial_jpartial_kfpartial_kpartial_jf auf ganz U.
Solution:
Beweis. Es genügt den Fall n und j k zu betrachten der allgemeine Fall ist nur in der Notation schwiereiger und folgt auch aus dem betrachteten Spezialfall. Für x in U und ein genüg kleines h s.d. x_+t_hx_+t_hin U für alle t_t_ in definiert man eine Funktion F durch Fhfx_+hx_+h-fx_+hx_-fx_x_+h+fx_x_ Weiter betrachtet man für ein genüg kleines aber festes h in die nach der Kettenregel differenzierbare Funktion t in mapsto phitfx_+thx_+h-fx_+thx_ und erhält Fhphi-phiphi'xi_partial_fx_+xi_hx_+h-partial_fx_+xi_hx_h für ein xi_ in nach dem eindimensionalen MWS angewet auf die Hilfsfunktion phi. Eine nochmalige Anwungen des eindimensionalen MWS auf die Funktion psi:t in mapsto partial_fx_+xi_hx_+th ergibt gemeinsam mit der Kettenregel Fhpartial_partial_fx_+xi_'hx_+xi_'hh^. Man dividiert nun durch h^ und erhält partial_partial_fx_+xi_hx_+xi_hpartial_partial_fx_+xi_'hx_+xi_'hh^. Des Weiteren gilt wegen xi_xi_xi_'xi_' in dass xi_hxi_h und xi_'hxi_'h beide gegen streben wenn h rightarrow . Also folgt auf Grund der Stetigkeit beider partiellen Ableitungen partial_partial_fxpartial_partial_fx wie gewünscht.
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