Über den Konvergenzradius
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
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Exercise:
Sei _n^infty a_nz^n eine Potenzreihe und R ihr Konvergenzradius. Dann konvergiert die Reihe _n^infty a_nz^n für alle z in mathbbC mit |z| R absolut und divergiert für alle z in mathbbC mit |z| R. Weiters konvergiert die Funktionenfolge _n^N a_nz^n gleichmässig gegen _n^infty a_nz^n auf jeder Kreisscheeibe der Form B_Sz in mathbbC||z| S für jedes S in R. Insbesondere definiert die Potenzreihe die stetige Abbildung z in B_Rmapsto _n^infty a_nz^n in mathbbC.
Solution:
Beweis. Man verwet das Wurzelkriterium aus Korollar . für ein beliebiges zin mathbbC und die Reihe _n^infty a_nz^n und berechnet deswegen lim textsup_n to inftysqrtn|a_nz^n| lim textsup_n to inftysqrtn|a_n||z| |z|lim textsup_n to inftysqrtn|a_n| frac|z|R Nach dem Wurzelkriterium konvergiert die Reihe also absolut für frac|z|R und divergiert für frac|z|R . Die Fälle R und R+infty ergeben sich aus dem gleichen Argument. Sei nun S in R. Für den Beweis der gleichmässigen Konvergenz auf B_S bemerkt man dass nach obigem bereits _n^infty |a_n|S^n infty gilt. Daher existiert für jedes epsilon ein N in mathbbN mit _nN^infty |a_n|S^n epsilon. Für alle z in B_S und n geq N gilt damit left|_k^n a_kz^k -_k^infty a_kz^kright| left|_kn+^infty a_kz^kright| leq _kN^infty |a_k|S^k epsilon. Dies beweist die gleichmässige Konvergenz der stetigen Funktionenfolge _k^n a_kz^k auf B_S gegen _k^infty a_kz^k und damit die Stetigkeit von z in B_S mapsto _k^infty a_kz^k in mathbbC nach Satz .. Insbesondere ist die Funktion z in B_Smapsto _n^infty a_nz^n in mathbbC stetig an jedem Punkt da es zu z in B_R ein S R gibt mit z in B_S. Dies beweist den Satz.
Sei _n^infty a_nz^n eine Potenzreihe und R ihr Konvergenzradius. Dann konvergiert die Reihe _n^infty a_nz^n für alle z in mathbbC mit |z| R absolut und divergiert für alle z in mathbbC mit |z| R. Weiters konvergiert die Funktionenfolge _n^N a_nz^n gleichmässig gegen _n^infty a_nz^n auf jeder Kreisscheeibe der Form B_Sz in mathbbC||z| S für jedes S in R. Insbesondere definiert die Potenzreihe die stetige Abbildung z in B_Rmapsto _n^infty a_nz^n in mathbbC.
Solution:
Beweis. Man verwet das Wurzelkriterium aus Korollar . für ein beliebiges zin mathbbC und die Reihe _n^infty a_nz^n und berechnet deswegen lim textsup_n to inftysqrtn|a_nz^n| lim textsup_n to inftysqrtn|a_n||z| |z|lim textsup_n to inftysqrtn|a_n| frac|z|R Nach dem Wurzelkriterium konvergiert die Reihe also absolut für frac|z|R und divergiert für frac|z|R . Die Fälle R und R+infty ergeben sich aus dem gleichen Argument. Sei nun S in R. Für den Beweis der gleichmässigen Konvergenz auf B_S bemerkt man dass nach obigem bereits _n^infty |a_n|S^n infty gilt. Daher existiert für jedes epsilon ein N in mathbbN mit _nN^infty |a_n|S^n epsilon. Für alle z in B_S und n geq N gilt damit left|_k^n a_kz^k -_k^infty a_kz^kright| left|_kn+^infty a_kz^kright| leq _kN^infty |a_k|S^k epsilon. Dies beweist die gleichmässige Konvergenz der stetigen Funktionenfolge _k^n a_kz^k auf B_S gegen _k^infty a_kz^k und damit die Stetigkeit von z in B_S mapsto _k^infty a_kz^k in mathbbC nach Satz .. Insbesondere ist die Funktion z in B_Smapsto _n^infty a_nz^n in mathbbC stetig an jedem Punkt da es zu z in B_R ein S R gibt mit z in B_S. Dies beweist den Satz.
Meta Information
Exercise:
Sei _n^infty a_nz^n eine Potenzreihe und R ihr Konvergenzradius. Dann konvergiert die Reihe _n^infty a_nz^n für alle z in mathbbC mit |z| R absolut und divergiert für alle z in mathbbC mit |z| R. Weiters konvergiert die Funktionenfolge _n^N a_nz^n gleichmässig gegen _n^infty a_nz^n auf jeder Kreisscheeibe der Form B_Sz in mathbbC||z| S für jedes S in R. Insbesondere definiert die Potenzreihe die stetige Abbildung z in B_Rmapsto _n^infty a_nz^n in mathbbC.
Solution:
Beweis. Man verwet das Wurzelkriterium aus Korollar . für ein beliebiges zin mathbbC und die Reihe _n^infty a_nz^n und berechnet deswegen lim textsup_n to inftysqrtn|a_nz^n| lim textsup_n to inftysqrtn|a_n||z| |z|lim textsup_n to inftysqrtn|a_n| frac|z|R Nach dem Wurzelkriterium konvergiert die Reihe also absolut für frac|z|R und divergiert für frac|z|R . Die Fälle R und R+infty ergeben sich aus dem gleichen Argument. Sei nun S in R. Für den Beweis der gleichmässigen Konvergenz auf B_S bemerkt man dass nach obigem bereits _n^infty |a_n|S^n infty gilt. Daher existiert für jedes epsilon ein N in mathbbN mit _nN^infty |a_n|S^n epsilon. Für alle z in B_S und n geq N gilt damit left|_k^n a_kz^k -_k^infty a_kz^kright| left|_kn+^infty a_kz^kright| leq _kN^infty |a_k|S^k epsilon. Dies beweist die gleichmässige Konvergenz der stetigen Funktionenfolge _k^n a_kz^k auf B_S gegen _k^infty a_kz^k und damit die Stetigkeit von z in B_S mapsto _k^infty a_kz^k in mathbbC nach Satz .. Insbesondere ist die Funktion z in B_Smapsto _n^infty a_nz^n in mathbbC stetig an jedem Punkt da es zu z in B_R ein S R gibt mit z in B_S. Dies beweist den Satz.
Sei _n^infty a_nz^n eine Potenzreihe und R ihr Konvergenzradius. Dann konvergiert die Reihe _n^infty a_nz^n für alle z in mathbbC mit |z| R absolut und divergiert für alle z in mathbbC mit |z| R. Weiters konvergiert die Funktionenfolge _n^N a_nz^n gleichmässig gegen _n^infty a_nz^n auf jeder Kreisscheeibe der Form B_Sz in mathbbC||z| S für jedes S in R. Insbesondere definiert die Potenzreihe die stetige Abbildung z in B_Rmapsto _n^infty a_nz^n in mathbbC.
Solution:
Beweis. Man verwet das Wurzelkriterium aus Korollar . für ein beliebiges zin mathbbC und die Reihe _n^infty a_nz^n und berechnet deswegen lim textsup_n to inftysqrtn|a_nz^n| lim textsup_n to inftysqrtn|a_n||z| |z|lim textsup_n to inftysqrtn|a_n| frac|z|R Nach dem Wurzelkriterium konvergiert die Reihe also absolut für frac|z|R und divergiert für frac|z|R . Die Fälle R und R+infty ergeben sich aus dem gleichen Argument. Sei nun S in R. Für den Beweis der gleichmässigen Konvergenz auf B_S bemerkt man dass nach obigem bereits _n^infty |a_n|S^n infty gilt. Daher existiert für jedes epsilon ein N in mathbbN mit _nN^infty |a_n|S^n epsilon. Für alle z in B_S und n geq N gilt damit left|_k^n a_kz^k -_k^infty a_kz^kright| left|_kn+^infty a_kz^kright| leq _kN^infty |a_k|S^k epsilon. Dies beweist die gleichmässige Konvergenz der stetigen Funktionenfolge _k^n a_kz^k auf B_S gegen _k^infty a_kz^k und damit die Stetigkeit von z in B_S mapsto _k^infty a_kz^k in mathbbC nach Satz .. Insbesondere ist die Funktion z in B_Smapsto _n^infty a_nz^n in mathbbC stetig an jedem Punkt da es zu z in B_R ein S R gibt mit z in B_S. Dies beweist den Satz.
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