Exercise:
Zeigen sie dass mathbbR überabzählbar ist.

Solution:
Beweis. Am besten beweist man diese Identität indem man die Teilmenge subseteq mathbbR verwet denn wenn schon diese Teilmenge von mathbbR überabzählbar ist so muss es auch mathbbR selbst sein. Um das Ganze etwas anschaulicher zu gestalten kann man sich das ganze als eine Art Spiel vorstellen. Demnach hat man zwei Spieler mathcalAB wobei mathcalB der Meinung ist dass mathbbR abzählbar ist. Das Ziel dieses Spielers ist es demnach alle Elemente von subseteq mathbbR aufzuzählen. Im Gegenzug darf Spieler mathcalA nach jedem Zug von mathcalB das Intervall verkleinern. Sei also n in mathbbN mapsto x_n in eine beliebige Funktion welche die Züge von Spieler mathcalB beschreibt. Im Folgen wird die Strategie von Spieler mathcalA wie man am besten rekursiv Intervalle I_n a_nb_n definiert so dass das gewählte x_n notin I_n gilt. Für n gilt: I_ a_nb_n cases leftfracrightquad textfalls x_ in left fracright leftfracrightquadtextfalls x_ in frac. cases So kann man sicher stellen dass x_ nicht in I_ liegt. Anschaulicher: Falls x_ in rechter Hälfte ist nimmt man Intervall des unteren Drittels liegt x_ in linker Hälfte nimmt man umgekehrt Intervall des oberen Drittels. Angenommen Spieler mathcalA hat nun schon die Intervalle bis n so definiert und Spieler mathcalB macht nun den n+ Zug. Dann sind ist das I_n+-te Intervall wie folgt definiert: I_n+ a_n+b_n+ cases I_nquad textfalls x_n+ notin I_n leftb_n-fracb_n-a_nb_nrightquad textfalls x_n+ in lefta_n a_n+fracb_n-a_nright lefta_n a_n+fracb_n-a_nrightquadtextfalls x_n+ in a_n+fracb_n-a_nb_n. cases Das heisst per Konstruktion gilt I_n+subseteq I_n und x_n+ notin I_n+ erfüllt. Nach dem Intervallschachtelungsprinzip ist der Durchschnitt bigcap_n^infty I_n subseteq nicht-leer sagen wir xin I. Dann ist x neq x_n für alle n in mathbbN da x_n notin I_n nach Konstruktion von I_n und x in I subseteq I_n. Somit hat Spieler mathcalA ein neues Element von gefunden was von Spieler mathcalB nicht aufgelistet wurde das Intervall ist also überabzählbar und somit auch mathbbR. Formal gesehen zeigt obiges Argument dass eine beliebige Abbildung mathbbN rightarrow nicht surjektiv sein kann.