Ungedämpfte Schwingung (kürzer)
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Exercise:
Eine Masse sig schwingt ungedämpft an einer Feder mit .siN/m Federkonstante. Die Masse wird an der Feder simm nach oben angehoben und dann losgelassen. enumerate item Wie gross ist die Periode der Schwingung? item Wie gross ist die Elongation und die Geschwindigkeit der Masse .sis nach dem Loslassen? Bewegt sich die Masse zu diesem Zeitpunkt aufwärts oder abwärts? item Wie gross ist die maximale Geschwindigkeit der Masse und bei welcher Elongation wird diese erreicht? item Wie gross ist die Beschleunigung der Masse bei simm Elongation? enumerate
Solution:
enumerate item Die Schwingungsdauer ist: omega_sqrtfracDm .sirad/s Ra T_fracpiomega_res.s item Die Elongation nach .sis erhält man direkt aus der Ortsfunktion: yty_ cosomega_ tres-.m Für die Geschwindigkeit gilt: dotyt-omega_y_sinomega_tres-.m/s Der Körper befindet sich unterhalb der Nulllage und bewegt sich nach unten. Das erkennt man auch am Minuszeichen bei der Geschwindigkeit. item Für die Geschwindigkeit gilt: dotyt-omega_y_sinomega_t Die Maximalgeschwindigkeit ist für sinomega_t erreicht also: doty_mathrmmaxomega_y_res.m/s Diese Geschwindigkeit wird beim Nulldurchgang erreicht. item Für die Beschleunigung gilt: ddotyt-omega_^y_cosomega_t Die einzige Unbekannte neben ddoty ist t. Aus der Elongation können wir t berechnen: yty_cosomega_tRa fracyty_cosomega_tRa arccosleftfracyty_rightomega_t Damit erhalten wir: tfracarccosleftfracyty_rightomega_.sis Und für die Beschleunigung ergibt sich damit: ddotyt-omega_^y_cosomega_tapproxres-.m/s^ Verkürzte Lösungswege: arccosleftfracyty_rightomega_t. Damit hat man bereits das Argument von cosomega_ t errechnet und muss die Zeit t nicht mehr ausrechnen. Noch kürzer: yt.simy_cosomega_ t Damit kann man schreiben: ddotyt-omega_^y_cosomega_t-omega_^ yt.sis^-^ .simapproxres-.m/s^ enumerate
Eine Masse sig schwingt ungedämpft an einer Feder mit .siN/m Federkonstante. Die Masse wird an der Feder simm nach oben angehoben und dann losgelassen. enumerate item Wie gross ist die Periode der Schwingung? item Wie gross ist die Elongation und die Geschwindigkeit der Masse .sis nach dem Loslassen? Bewegt sich die Masse zu diesem Zeitpunkt aufwärts oder abwärts? item Wie gross ist die maximale Geschwindigkeit der Masse und bei welcher Elongation wird diese erreicht? item Wie gross ist die Beschleunigung der Masse bei simm Elongation? enumerate
Solution:
enumerate item Die Schwingungsdauer ist: omega_sqrtfracDm .sirad/s Ra T_fracpiomega_res.s item Die Elongation nach .sis erhält man direkt aus der Ortsfunktion: yty_ cosomega_ tres-.m Für die Geschwindigkeit gilt: dotyt-omega_y_sinomega_tres-.m/s Der Körper befindet sich unterhalb der Nulllage und bewegt sich nach unten. Das erkennt man auch am Minuszeichen bei der Geschwindigkeit. item Für die Geschwindigkeit gilt: dotyt-omega_y_sinomega_t Die Maximalgeschwindigkeit ist für sinomega_t erreicht also: doty_mathrmmaxomega_y_res.m/s Diese Geschwindigkeit wird beim Nulldurchgang erreicht. item Für die Beschleunigung gilt: ddotyt-omega_^y_cosomega_t Die einzige Unbekannte neben ddoty ist t. Aus der Elongation können wir t berechnen: yty_cosomega_tRa fracyty_cosomega_tRa arccosleftfracyty_rightomega_t Damit erhalten wir: tfracarccosleftfracyty_rightomega_.sis Und für die Beschleunigung ergibt sich damit: ddotyt-omega_^y_cosomega_tapproxres-.m/s^ Verkürzte Lösungswege: arccosleftfracyty_rightomega_t. Damit hat man bereits das Argument von cosomega_ t errechnet und muss die Zeit t nicht mehr ausrechnen. Noch kürzer: yt.simy_cosomega_ t Damit kann man schreiben: ddotyt-omega_^y_cosomega_t-omega_^ yt.sis^-^ .simapproxres-.m/s^ enumerate